Probabilità di una moneta truccata

[batbrain]

Buongiorno a tutti, ecco un problema sulla cui formulazione ho qualche dubbio:

Dimostrare che lanciando due volte una moneta truccata (vale a dire con probabilità che si presenti testa diversa dalla probabilità che si presenti croce), la probabilità facce uguali supera la probabilità che si presentino facce diverse.

Risoluzione
Essendo gli eventi T (testa) e C (croce) indipendenti, per dimostrare ho supposto che p(T)>p(C) e quindi:
p(TT)=p(T U T) = p(T) + p(T) - p(T $ nn $ T) = p(T) + p(T) che è sicuramente maggiore di p(TC), p(CT), p(CC).

Ma dal testo mi sembra che bisogna anche provare che p(CC) > p(TC) e p(CC) > p(CT). Cioé non dipende da quale delle due facce sia più probabile, comunque la successione TT o CC è più probabile delle successioni CT o TC.

Vi sarei grato di qualche suggerimento.
Saluti.

[Dlofud]

Vediamo, sembra un po' confusa la situazione, bat.

Immaginando una moneta che abbia P=0,7 per Testa e P=0,3 per Croce:

calcolando con la probabilità binomiale su 2 lanci, se ho fatto bene i calcoli abbiamo:

P=0,09 per 2 Croce su 2 tiri;
P=0,42 per 1 Croce su 2 tiri (quindi forzatamente 1 Testa e 1 Croce);
P=0,49 per 2 Testa.

Quindi no, non direi che con una moneta truccata le probabilità che escano due faccie uguali siano maggiori di quella che escano due faccie diverse, a meno che non si consideri solo il caso di 2 Testa.

Per il lato con probabilità di uscire inferiori, la possibilità che esca 2 volte è sempre inferiore alla possibilità che si abbini al lato diverso, dando origine ad una coppia di faccie diverse.

Forse l'esercizio vuole limitarsi a dimostrare che, con la moneta truccata, due faccie uguali possono uscire più spesso, senza specificare che sarà proprio la faccia truccata. Intendo: lanciando una moneta truccata, le probabilità che escano due faccie uguali è superiore a quella che siano diverse: dal punto di vista logico la frase è non specifica, ma valida.

[Umby]

Quindi no, non direi che con una moneta truccata le probabilità che escano due faccie uguali siano maggiori di quella che escano due faccie diverse, a meno che non si consideri solo il caso di 2 Testa.

Perchè NO ?

Lo hai scritto. Faccie diverse 0,42, quindi Faccie uguali 0,58.

[batbrain]

Quindi no, non direi che con una moneta truccata le probabilità che escano due faccie uguali siano maggiori di quella che escano due faccie diverse, a meno che non si consideri solo il caso di 2 Testa.

Perchè NO ?

Lo hai scritto. Faccie diverse 0,42, quindi Faccie uguali 0,58.

argh, forse ho capito adesso l'arcano testo del problema; ovvero bisogna dimostrare che P(TT $nn$ CC) > P(CT) e che P(TT $nn$ CC) > P(CT), la qual cosa mi pare ragionevole, come anche i calcoli di Dlofud dimostrano.

[Dlofud]

Quindi no, non direi che con una moneta truccata le probabilità che escano due faccie uguali siano maggiori di quella che escano due faccie diverse, a meno che non si consideri solo il caso di 2 Testa.

Perchè NO ?

Lo hai scritto. Faccie diverse 0,42, quindi Faccie uguali 0,58.

Sì, mi sono spiegato male, Umby.

Dando un significato "statistico" al quesito sì, è ovvio, la probabilità che escano due faccie uguali è maggiore di quella che escano due faccie diverse, ma più "letteralmente" la domanda può fuorviare un po', perchè la probabilità che escano due faccie uguali e Croce è molto bassa, più bassa di quella che escano faccie diverse. E' più un sofismo, insomma.