Test d'ammissione, logica & matematica

[JB]

Ciao ragazzi, sono nuovo e vi faccio i complimenti per il forum... Da quello che ho letto il livello va oltre ogni più rosea speranza

Sono Giorgio dalla Puglia, scrivo qui per la prima volta perchè ci sono alcuni quesiti dei test d'ingresso all'università (business and economics a Bologna) che potrebbero mettermi in difficoltà... Con questo non intendo dire che siano difficili, non mi permetterei mai dopo quello che ho letto nel forum, ma puó darsi che io non abbia prestato particolare attenzione al prof negli ultimi 5 o... 13 anni

È la prima parte del test, 30 domande di matematica e logica su un totale di 100. Diverse le so fare senza problemi, su altre ci posso arrivare facilmente, per altre ancora mi mancano alcune basi ma so dove cercare senza rubare tempo a brava gente su un forum, mentre ce ne sono alcune che... boh

Per esempio...

1 Let P (n) and S(n) denote the product and the sum, respectively, of the digits of the integer n. For example, P (23) = 6, S(23) = 5. Suppose N is a two-digit number such that N = P (N) + S(N). What is the units digit of N?

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Poniamo che P(n) sia, rispettivamente, il prodotto e la somma delle cifre di un numero intero n. Per esempio, P (23) = 6, S(23) = 5. Supponiamo che N sia un numero di due cifre tale che N = P (N) + S(N). Quali sono le cifre di n?

2 A rectangle with a diagonal of length x is twice as long as it is wide. What is the area of the rectangle?

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Un rettangolo di diagonale x ha lunghezza doppia rispetto all'altezza. Qual è l'area del rettangolo?

3 For real numbers x and y define x♠y = (x + y)(x − y). What is 3♠(4♠5)?

(a) −72 (b) 27 (c) −27 (d) 72

sbaglio o l'uguaglianza è praticamente \(\displaystyle x♠y = x^2 - y^2 \) ?! Cosa puó essere "♠"?!

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Per i numeri reali x e y è definita l'uguaglianza x♠y = (x + y)(x − y). Quanto fa 3♠(4♠5)?

4 A woman invested an amount of money at 5% and twice as much at 7%. If her total yearly interest
from the two investments is $760, how much was invested at 5% rate ?

Qui ho provato una equazione con due incognite ma se il metodo giusto per una sola di 100 domande impiega tanto tempo, qualcosa non va...

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Una donna ha investito una somma al 5% e il doppio di quella somma al 7%. Se il suo interesse annuo per i die investimenti è $760, quanto ha investito al 5%?

5 A computer is programmed to add 3 to the number N, multiply the result by 3, subtract 3, and divide
this result by 3. The computer answer will be

(a) N + 2 (b) N + 1 (c) N (d) N + 1/3

Io ho risolto \(\displaystyle [3(N+3)-3]/3 = (3N+6)/3 = 3(N+3)/3 = N+3\) ma non è tra i risultati

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Un computer è programmato per aggiungere 3 ad N, moltiplicare il risultato per 3, sottrarre 3 e dividere tutto per tre. La risposta del computer sarà:

Questo è il migliore, breve ma assassino

6 What is the last digit of 3^30?

Da risolvere al volo...

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Qual è l'ultima cifra di tre alla trentesima?

7 What is x if 3^(5-x) = 81^(x+1)?

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Quant'è x se tre elevato a 5-x = 81 elevato a x+1

8 If \(\displaystyle x + 2 \) is a factor of \(\displaystyle x^4 + x^3 + 3x^2 + kx − 10 \) then k = ?

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Se \(\displaystyle x + 2 \) è un fattore di \(\displaystyle x^4 + x^3 + 3x^2 + kx − 10 \) then k = ?

9 The set {x ∈ R : x|x| = 2x + 1} is

(a) n1; −1 +√2 (b) n−1; 1 +√2 (c) n−1; 1 −√2 (d) n−1; −1 −√2

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L'insieme {x ∈ R : x|x| = 2x + 1} è:

10 2^30 + 2^30 + 2^30 + 2^30 = ?

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Due alla trentesima

11 \(\displaystyle n \) and \(\displaystyle p \) are integers greater than 1. \(\displaystyle 5 × n \) is the square of a number. \(\displaystyle 75 × n × p \) is the cube of a number. The smallest value for \(\displaystyle n + p \) is

(a) 20 (b) 18 (c) 14 (d) 30

Come si imposta?

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n e p sono numeri interi maggiori di 1. 5 x n il quadrato di un numero. 75 x n x p il cubo di un numero. Il più piccolo valore per n + p è:

Come si arriva alle soluzioni?! Ovviamente attraverso un procedimento che posso usare indipendentemente dai numeri che compaiono sulla prova... Abbiate pietà

Ho aggiunto la traduzione, almeno quello anche se i numeri sono il linguaggio universale per eccellenza

[dott.ing]

Ciao JB, benvenuto sul forum!

Qui troverai appassionati, studenti e docenti in grado di aiutarti e risolvere i tuoi dubbi. Affinché ciò avvenga nel modo più efficace possibile è buona norma postare oltre al testo del problema la propria proposta di soluzione, evidenziare i dubbi e i passaggi non compresi. A quel punto sarà possibile darti un aiuto concreto e non una soluzione da applicare a macchinetta perché quella non ti serve a nulla. La combinatoria degli esercizi è infinita e quindi è indispensabile allenare le capacità di ragionamento per avere possibilità di risolvere quello che troverai nelle prove (nel test di ammissione in questo caso).

Quindi prova a scrivere le tue proposte, vedrò di aiutarti a risolvere i dubbi.

Ti rispondo per ora, quindi, ai quesiti per cui hai già seguito queste indicazioni.

$3.$ Il simbolo \( \displaystyle ♠\) sta ad indicare una generica operazione binaria (ossia fatta su due elementi) descritta appunto dall'uguaglianza \( \displaystyle x♠y = (x+y)(x-y)\). Se, ad esempio, $x=2$, $y=3$ avremo \( \displaystyle 2♠3=(2+3)(2-3)\).

$4.$ Che equazione in due incognite hai scritto? È sufficiente una equazione in una incognita per questo quesito.

$5.$ La scrittura $\frac{3(N+3)-3}{3}$ è corretta ma hai fatto un errore nei passaggi successivi. Controlla i conti, la risposta corretta è la $A$.

Per ogni ulteriore dubbio chiedi senza problemi.

[JB]

Ciao JB, benvenuto sul forum!

Qui troverai appassionati, studenti e docenti in grado di aiutarti e risolvere i tuoi dubbi. Affinché ciò avvenga nel modo più efficace possibile è buona norma postare oltre al testo del problema la propria proposta di soluzione, evidenziare i dubbi e i passaggi non compresi. A quel punto sarà possibile darti un aiuto concreto e non una soluzione da applicare a macchinetta perché quella non ti serve a nulla. La combinatoria degli esercizi è infinita e quindi è indispensabile allenare le capacità di ragionamento per avere possibilità di risolvere quello che troverai nelle prove (nel test di ammissione in questo caso).

Quindi prova a scrivere le tue proposte, vedrò di aiutarti a risolvere i dubbi.

Ti rispondo per ora, quindi, ai quesiti per cui hai già seguito queste indicazioni.

$3.$ Il simbolo \( \displaystyle ♠\) sta ad indicare una generica operazione binaria (ossia fatta su due elementi) descritta appunto dall'uguaglianza \( \displaystyle x♠y = (x+y)(x-y)\). Se, ad esempio, $x=2$, $y=3$ avremo \( \displaystyle 2♠3=(2+3)(2-3)\).

$4.$ Che equazione in due incognite hai scritto? È sufficiente una equazione in una incognita per questo quesito.

$5.$ La scrittura $\frac{3(N+3)-3}{3}$ è corretta ma hai fatto un errore nei passaggi successivi. Controlla i conti, la risposta corretta è la $A$.

Per ogni ulteriore dubbio chiedi senza problemi.

Condivido pienamente il criterio del forum grazie mille per la risposta! In effetti in alcuni casi dovevo semplicemente concentrarmi di più...

in realtà le ho risolte in maniera abbastanza rocambolesca ed intuitiva per esempio...

1. Sono andato a tentativi accostando rapidamente nella testa cifre che mi sembrassero soddisfacenti fino ad arrivare a un 29 nel cui caso (2+9)+(2x9)=29 quindi la risposta sarebbe 9

2. Ho fatto un disegnino: ho allungato la base del rettangolo fino ad avere la lunghezza della diagonale e ci ho costruito un quadrato... Diventa intuitivo anche ad occhio che l'area del triangolo è $2/5x^2$ dove x è la diagonale (specie se compare tra le risposte)

6. Mi ha inizialmente ingannato quando ho creduto di aver trovato uno schema con cui si ripetono ciclicamente le ultime cifre delle potenze di un numero, per poi scoprire che esiste, in effetti, uno schema, ma era diverso da quello che avevo immaginato, essendo in un certo senso "retrogrado".

Sono metodi matematicamente validi o, come sono convinto, escamotage di un ignorante disperato alle prese con l'ammissione all'università?
Specie per la 6, l'apice assoluto del "procedere a tentoni"

In altri casi mi sono sentito abbastanza stupido ad aver chiesto qui:

4. Equazione a una incognita dall'impostazione molto intuitiva $(5/100)x + [(7x2)/100]x=760$

5. Errore di calcolo nella risoluzione, come giustamente segnalato

In una caso davvero non riesco a capire cosa non sono arrivato a comprendere:

3. Riconfermo il dubbio infame dell'apertura Quale segno di operazione può mai rendermi valida l'uguaglianza?

Infine, in alti casi ancora non sono riuscito neanche ad avviarmi nell'impostazione della risoluzione...

8, 9, 10, 11.

[dott.ing]

in realtà le ho risolte in maniera abbastanza rocambolesca ed intuitiva

Sono metodi matematicamente validi o, come sono convinto, escamotage di un ignorante disperato alle prese con l'ammissione all'università?

In generale direi di no... Il procedere a tentoni può essere una buona strada quando serve da spunto per arrivare a qualcosa di più concreto e formalizzato. Anche perché (a quanto ho capito) al test d'ammissione avrai quesiti a scelta multipla ma non sempre avrai elementi di confronto nelle prove. Ma a questo penserai a suo tempo...

Vediamo di tornare ai quesiti e di formalizzare meglio.

$1.$ Un procedimento rigoroso e non a tentativi può essere il seguente: sia $a$ la cifra delle decine e $b$ quella delle unità. Avendo il numero due cifre dovrà essere $1<=a<=9$.
La relazione $N=P(N)+S(N)$ diviene quindi $10a+b=ab+a+b$ che da come soluzione $b=9$. Notiamo quindi che in effetti la cifra delle unità vale $9$ ma non abbiamo vincoli su quella delle decine (tutti i valori $19$, $29$, ..., $89$, $99$) soddisfano le richieste del quesito.

$2.$ Chiamiamo $h$ l'altezza e $2h$ la base del rettangolo. La diagonale può essere espressa tramite Pitagora: $x^2=h^2+(2h)^2=5h^2$. L'area vale $A=2h\cdoth=2h^2$. Mettendo insieme i pezzi si giunge al risultato da te scritto, $2/5x^2$.

$3.$ Cosa non è chiaro di quello che ho scritto nel post precedente? Il simbolo $♠$ indica un'operazione generica (indicata nel testo). Non devi trovare alcun operatore che verifichi l'uguaglianza ma calcolare un valore numerico.
Facciamo il calcolo per $4♠5$. $x♠y=(x+y)(x−y)$ pertanto $4♠5=(4+5)(4-5)=-9$.
Non ti resta che calcolare $3♠-9$.

$4.$ L'equazione va bene, supponendo che la $x$ nel secondo addendo indichi un prodotto. Il valore richiesto è quindi $4000\ \$$.

$6.$ Lo schema nella ripetizione dell'ultima cifra è la strada giusta. Che schema hai trovato tu?

$8.$ Sai fare una divisione tra polinomi?

$9.$ Si chiede di risolvere una equazione con valore assoluto (determinare l'insieme delle sue soluzioni).
$x|x|=2x+1$ si spezza nel seguente modo:
$x|x|=2x+1={(x^2=2x+1, x>=0),(-x^2=2x+1, x<0):}$
Prova a risolverlo da qui.

$10.$ $2^30+2^30+2^30+2^30=2^30\cdot4=2^30\cdot2^2=...$

$11.$ Sappiamo che $5\cdotn$ è un quadrato, ossia il prodotto di due numeri uguali. Che valore potrà mai assumere $n$ affinché questa richiesta sia rispettata?

[JB]

in realtà le ho risolte in maniera abbastanza rocambolesca ed intuitiva

Sono metodi matematicamente validi o, come sono convinto, escamotage di un ignorante disperato alle prese con l'ammissione all'università?

In generale direi di no... Il procedere a tentoni può essere una buona strada quando serve da spunto per arrivare a qualcosa di più concreto e formalizzato. Anche perché (a quanto ho capito) al test d'ammissione avrai quesiti a scelta multipla ma non sempre avrai elementi di confronto nelle prove. Ma a questo penserai a suo tempo...

Vediamo di tornare ai quesiti e di formalizzare meglio.

$1.$ Un procedimento rigoroso e non a tentativi può essere il seguente: sia $a$ la cifra delle decine e $b$ quella delle unità. Avendo il numero due cifre dovrà essere $1<=a<=9$.
La relazione $N=P(N)+S(N)$ diviene quindi $10a+b=ab+a+b$ che da come soluzione $b=9$. Notiamo quindi che in effetti la cifra delle unità vale $9$ ma non abbiamo vincoli su quella delle decine (tutti i valori $19$, $29$, ..., $89$, $99$) soddisfano le richieste del quesito.

$2.$ Chiamiamo $h$ l'altezza e $2h$ la base del rettangolo. La diagonale può essere espressa tramite Pitagora: $x^2=h^2+(2h)^2=5h^2$. L'area vale $A=2h\cdoth=2h^2$. Mettendo insieme i pezzi si giunge al risultato da te scritto, $2/5x^2$.

$3.$ Cosa non è chiaro di quello che ho scritto nel post precedente? Il simbolo $♠$ indica un'operazione generica (indicata nel testo). Non devi trovare alcun operatore che verifichi l'uguaglianza ma calcolare un valore numerico.
Facciamo il calcolo per $4♠5$. $x♠y=(x+y)(x−y)$ pertanto $4♠5=(4+5)(4-5)=-9$.
Non ti resta che calcolare $3♠-9$.

$4.$ L'equazione va bene, supponendo che la $x$ nel secondo addendo indichi un prodotto. Il valore richiesto è quindi $4000\ \$$.

$6.$ Lo schema nella ripetizione dell'ultima cifra è la strada giusta. Che schema hai trovato tu?

$8.$ Sai fare una divisione tra polinomi?

$9.$ Si chiede di risolvere una equazione con valore assoluto (determinare l'insieme delle sue soluzioni).
$x|x|=2x+1$ si spezza nel seguente modo:
$x|x|=2x+1={(x^2=2x+1, x>=0),(-x^2=2x+1, x<0):}$
Prova a risolverlo da qui.

$10.$ $2^30+2^30+2^30+2^30=2^30\cdot4=2^30\cdot2^2=...$

$11.$ Sappiamo che $5\cdotn$ è un quadrato, ossia il prodotto di due numeri uguali. Che valore potrà mai assumere $n$ affinché questa richiesta sia rispettata?

1 e 2 Un piacere per gli occhi

3. Dunque $ x♠y $ non è un'operazione tra \(\displaystyle x \) ed \(\displaystyle y \) come sulla settimana enigmistica?! Sarebbe a dire che $3♠-9=-72$ ?

6. Direttamente dal foglio degli scarabocchi



Valido anche per basi diverse da 3

8 e 9 Ci provo subito

10. Eureka! La aggiungerei a "quelle per le quali sentirsi stupido"

11. $n=5$ e fin qui ci siamo, quindi \( \displaystyle 75 × 5 × p \) è il cubo di un numero... E poi?

[dott.ing]

3. Dunque $ x♠y $ non è un'operazione tra \(\displaystyle x \) ed \(\displaystyle y \) come sulla settimana enigmistica?! Sarebbe a dire che $3♠-9=-72$ ?

$x♠y$ è un'operazione tra $x$ e $y$. Non lo è in senso elementare (come lo può essere una somma o una divisione) essendo infatti definita tramite somme e prodotti. Ma è assolutamente generica: avrei potuto definire $x♠y=2x+y^2$; in tal caso avremmo avuto $2♠3=2\cdot2+3^2=13$. Nel quesito in questione risulta correttamente $3♠-9=-72$.

$6.$ Lo schema è corretto e pure lo è il risultato. Procedere in quel modo però potrebbe diventare scomodo se ti chiedessi, ad esempio, l'ultima cifra di $3^273$.

Si può procedere così (indico dopo la freccia l'ultima cifra):
$3^1\to3$
$3^2\to9$
$3^3\to7$ (essendo $9\cdot3=27$)
$3^4\to1$ (essendo $7\cdot3=21$)
$3^5\to3$ (essendo $1\cdot3=3$)
$3^6\to9$ (essendo $3\cdot3=9$)
e così via...

Per cui, come hai notato, si ripetono le quattro cifre $3,9,7,1$. Dobbiamo capire a quale classe appartiene $3^30$. Il massimo multiplo di $4$ minore o uguale a $30$ è $28$, perciò $3^28$ avrà la stessa cifra finale di $3^4$. Da qui è un attimo concludere che $3^30$ avrà la stessa cifra finale di $3^2$.
(Per approfondimenti: aritmetica modulare).

10. Eureka! La aggiungerei a "quelle per le quali sentirsi stupido"

Ma no, quale stupidità... Si tratta solo di fare un po' di allenamento e sviluppare l'occhio clinico (cit.) per scovare i trucchetti.

11. $n=5$ e fin qui ci siamo, quindi \( \displaystyle 75 × 5 × p \) è il cubo di un numero... E poi?

A rigore $n$ può assumere anche altri valori, ma per i nostri scopi $n=5$ va più che bene...

$75\cdot5\cdotp$ può essere fattorizzato come $5^3\cdot3\cdotp$. Dovrebbe essere ora immediato determinare il valore che completa il cubo (qui scritto come prodotto di cubi).