Il mio problema è il seguente: ho una applicazione f: V->W. Supponiamo W=IR e V={ k-ple di vettori linearmente indipendenti di IR^n}. Doto IR della distanza euclidea, e mi si chiede di verificare che V è un sottoinsieme aperto di IR^(nk). Io pensavo di dotare anche IR^(nk) di distanza euclidea per poi prendere una qualsiasi F: IR^(nk)->IR, F continua, e considerare f come la restrizione di F a V (dato che il fatto che V sia sottoinsieme di IR^(nk) mi sembra banale). Quindi siccome F è continua, per la definizione topologica di funzione continua V deve essere aperto.
Tuttavia mi si fa notare che V altro non è che lo spazio vettoriale delle matrici a n righe e k colonne con rango uguale a k, e mi si chiede di trovare una applicazione continua L: M_nxk-> IR tale che L^(-1) (IR\0) = V. Qui è il punto: come faccio a definire una applicazione continua se su M_nxk non ho definito una topologia? In altre parole, che topologia bisogna usare negli spazi di matrici?
Ancora: supponiamo ora W=G, dove G è la grassmanniana dei k-sottospazi di IR^n mentre V è definito come prima. Doto G della topologia quoziente definita da q: V->G tale che q(v_1...v_k)=span(v_1....v_k). Qui non capisco proprio chi siano gli aperti su G definiti da questa topologia (credo che sia una conseguenza della non comprensione del punto precedente, ma non vorrei sbagliare..). In ogni caso, il fatto di aver scelto la topologia quoziente dovrebbe garantire automaticamente la continuità di q, giusto (q è una identificazione)?
Grazie a tutti per l'attenzione, spero di essere stato chiaro!
