Salve, ho risolto questo problema, ma forse dimentico qualcosa?
Dimostrare che per ogni intero \(\ n \geq 1 \) il numero reale:
\(\ \sqrt(4n −1) \) è irrazionale.
Io ho ragionato così:
Supponiamo che \(\ \sqrt(4n −1) \) sia razionale, allora deve essere:
\(\ 4n-1=m^2 \)
Perciò: \(\ 4n=m^2+1 \)
Allora \(\ m^2+1 \) deve essere pari, quindi \(\ m^2 \) è dispari.
Supposto \(\ m= 2k+1 \rightarrow m^2= 4k^2+4k+1≡ 1(mod4) \)
Quindi è: \(\ m^2+1≡2(mod4) \)
Ma, affinchè \(\ 4n-1=m^2 \) sia vera, dovrebbe essere:
\(\ m^2+1≡0(mod4) \)
Quindi \(\ \sqrt(4n −1) \) non può essere razionale.