[Algebra]Gruppi

[Lucia]

Ciao a tutti,
devo dimostrare che un gruppo abeliano finito che possiede due elementi x,y di ordine rispettivamente p e q con MCD(p,q)=1 possiede un elemento di ordine $pq$

Io ho provato così:

per il corollario del teorema di Lagrange: $|G|=kp, EEk\inG$ e $|G|=hq, EEh\inG$
poichè MCD(p,q)=1 : $|G|=l pq, EEl\inG$
Dunque può esistere un elemento di questo ordine, poi: (ho usato la notazione additiva)
$px=0$ e $qy=0$ => $px+qy=0$ => $qpx+pqy=0$

quindi $(x+y)\inG => pq(x+y)=0 $quindi tale elemento ha ordine pq

[FE]

Sulla prima parte della dimostrazione non ho capito niente. Non mi sembra per niente chiaro. Sulla seconda parte hai dimostrato che $ (ab)^(pq) = e $ ma non hai detto nulla sul fatto che $ pq $ deve essere il minimo intero per cui cio' accade.

[Lucia]

Hai assolutamente ragione, la dimostrazione che ho fatto fa acqua da tutte le parti...

Riprovo:

per ipotesi $x^p=e$ e $y^q=e$
=> $(xy)^(pq)=e$

a questo punto se, per assurdo, n, $n<pq$ fosse il più piccolo intero tale che $(xy)^n=e$

facendo la divisione tra pq e n : $pq=nz+r$ con $0<=r<n$

si avrebbe $(xy)^(pq)=((xy)^n)^z (xy)^r$ => $r=0$ ( essendo n il minimo)

=> $pq=nz$

=> $n|pq$ => $n|p$ e $n|q$

poichè MCD(p,q)=1: n=1

quindi neanche questa dimostrazione funziona...

Credo di aver completamente sbagliato strada nella dimostrazione e di dover cercare un generico elemento $z\inG$ tc $z^(pq)=e$ perchè il prodotto ha periodo 1... giusto?

[FE]

=> n∣∣pq => n∣∣p e n∣∣q

non mi torna.

In ogni caso la strada è ragionare sui prodotti diretti e , ricordandosi dell'ipotesi $ M.C.D(p,q)=1 $, notare che $ m.c.m(p,q)= pq $