Convergenza di integrali generalizzati?

[claudioz94]

Non riesco a capire quale criterio usare per risolvere questo integrale, e soprattutto per quali valori di alpha varrebbe la convergenza...

[billyballo2123]

Innanzitutto ti faccio notare che nell'enunciato non ti chiedono di risolvere l'integrale, ma solo di capire per quali valori di $alpha$ l'integrale esiste (ovvero la funzione integranda è integrabile in senso improprio nell'intorno dell'origine e di $+\infty$).

Questa tipologia di esercizi si risolve con il confronto asintotico, ovvero si calcola una funzione asintotica a quella integranda negli intorni dei punti problematici (in questo caso l'origine e $+\infty$) di cui si sappia stabilirne l'integrabilità.
In particolare in questo caso ci si riconduce a funzioni del tipo $t^{\beta}$, e l'integrale di funzioni di questo tipo convergono per $\beta<-1$ in un intorno di $\infty$, mentre convergono per $\beta> -1$ in un intorno dell'origine.

Nell'intorno di $+\infty$ il denominatore è asintotico a $t^2$ mente il numeratore a $t^{\alpha+2}$, dunque la funzione è asintotica a $t^{\alpha}$ che è integrabile in senso improprio all'infinito se e solo se $\alpha<-1$.

Nell'intorno dell'origine invece il denominatore è asintotico a $t^4/2$ e il numeratore a $t^{alpha}$, dunque la funzione integranda è asintotica a $2t^{\alpha-4}$ e pertanto deve essere $\alpha>3$.

Poiché non può essere $\alpha<-1$ e $\alpha>3$ contemporaneamente, si ha che l'integrale diverge per ogni $\alpha\in \mathbb{R}$.

[claudioz94]

Grazie infinite per l'aiuto... anche se non capisco come fai a stabilire (sarà che non lo ho mai capito bene) cosa è asintotico in numeratore e denominatore con problema a infinito e cosa è asintotico con problema a 0... cioè, qual è il metodo per capirlo? Tenere in considerazione solo le potenze più alte (a infinito) e più basse (in 0)?

E basta solo l'equivalenza asintotica a dimostrare tutto? Non si dovrebbe fare il limite (confronto asintotico) per dimostrarlo rigorosamente?

[billyballo2123]

Bhè... è un modo abbastanza rozzo di dirlo, però di fatto nell'intorno di $\infty$ contano le potenze alte (che sono quelle che si ingrandiscono più velocemente), mentre nell'intorno dell'origine le potenze basse (che sono quelle che si rimpiccioliscono meno velocemente).

In questo caso particolare al denominatore ho usato un limite notevole:
\[
\lim_{y\to 0}\frac{(1+y)^{\gamma}-1}{\gamma y}=1,
\]
e per definizione $(1+y)^{\gamma}-1$ è asintotico a $\gamma y$ (nell'esercizio era $y=t^4$ e $\gamma =1/2$).

Comunque se $f$ è asintotica a $g$ in un intorno di $\infty$ (o dell'origine) e $g$ è integrabile in senso improprio, allora lo è anche $f$.