esercizio serie

[Sciarra]

mi dareste una mano con questa serie? $ sum_(n=1)^(+oo)1/n(tan(pi/2*((x+2)/(|x|+1)))^n $
grazie

[ciampax]

Serie numerica con parametro o serie di "potenze"? Io comunque porrei, per prima cosa, $t=\tan ...$ in modo da trasformarla in questa $\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n}$

[Sciarra]

serie numerica con parametro...

[ciampax]

Comincia a ragionare su quella posizione che ti ho detto cercando di capire quando converge la serie più semplice. Da lì si tratterà di risolvere una qualche disequazione.

[Sciarra]

ok Ciampax ti spiego come ho fatto :
Il dominio della x è$x!=-1/2$
dunque ho diviso lo studio così:
se $x>=0$ diventa $ sum_(n=0)^(+oo)1/n(tan(pi/2*(x+2)/(x+1)))^n $ ... ho inoltre notato che il fattore all' interno dell' argomento della tangente è $1_+<{(x+2)/(x+1)(=y)}<2$ (ho messo un $1_+$ per evidenziare il fatto che la tangente tenderebbe a $pi/2_+$ e dunque a meno infinito) allora $ k<|tan(pi/2y)|<+oo$ e dunque la serie è sempre divergente in quanto verranno a mancare le condizioni necessarie per la convergenza.
Al contrario se $x<0$ allora la serie sarà:
$ sum_(n=0)^(+oo)1/n(tan(pi/2*(x+2)/(-x+1)))^n $.
dunque:
$ (tan(pi/2*(x+2)/(-x+1)))^n->_(n->+oo){ ( 0 <=> -2<=( x+2)/(-x+1)<-2 <=> -5<x<-1 ),(1<=>x=-1 ),(+oo<=>-1<x<-1/2)$
essendo la tangente associata ad una funzione esponenziale potremo fare le stesse considerazioni precedente. Allora nell' intervallo compreso tra $-5<x<-1$ la serie converge assolutamente e semplicemente. Nell' intervallo compreso tra $-1<x<-1/2$ la serie tende ad infinito e dunque non converge. In ultimo $x=-1$ la serie avrebbe lo stesso carattere di una serie armonica...

[ciampax]

Troppo caos. Poniamo, come dicevo (seguire i consigli no, eh?) $t=\tan...$. Allora dobbiamo studiare la serie $\sum_{n=1}^\infty\frac{t^n}{n}$. Il termine generale ha come limite
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{t^n}{n}=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & t>1\\ 0 & &|t|\le 1\\ \nexists & & t< -1
\end{array}\right.$$
come è facile vedere. Possiamo concludere che la serie diverge positivamente per $t>1$ e che sicuramente non converge per $t<-1$. Analizziamo cosa accade quando $|t|\le 1$. Se $t=0$ la serie converge a zero, mentre se $t=1$ si ha la serie armonica che non converge. Se invece $0< t< 1$ usando il criterio del rapporto
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{t^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{t^n}=t<1$$
e quindi la serie converge.
Se invece $-1\le t <0$ possiamo applicare il criterio di Leibniz: abbiamo già fatto vedere che il termine generale è infinitesimo, vediamo se è decrescente. Possiamo porre $t=-z,\ 0<z\le 1$ e riscrivere la serie come $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{z^n}{n}$. Pertanto abbiamo
$$\frac{z^{n+1}}{n+1}-\frac{z^n}{n}=\frac{z^{n+1}n-z^n(n+1)}{n(n+1)}=\frac{z^n(zn-n-1)}{n(n+1)}=-\frac{z^n[n(1-z)+1]}{n(n+1)}<0$$
(poiché $1-z>0$) e da questo puoi dedurre che $a_{n+1}<a_n$ per ogni $n$. Vale allora Leibniz e possiamo concludere che la serie converge anche per $-1\le t< 0$.

In definitiva la nostra serie converge per $-1\le t <1$, per cui basta risolvere la disequazione
$$-1\le\tan\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{x+2}{|x|+1}\right) <1$$
per ottenere il risultato. Tale disequazione equivale al sistema delle disequazioni
$$\frac{x+2}{|x|+1}\ge -\frac{1}{2},\qquad \frac{x+2}{|x|+1}<\frac{1}{2}$$
equivalente a
$$\frac{2x+4+|x|+1}{2(|x|+1)}\ge 0,\qquad \frac{2x+4-|x|-1}{2(|x|+1)}\le 0$$
Dal momento che il denominatore è sempre definito e positivo, possiamo ancora ridurre tutto al sistema delle disequazioni
$$2x+4+|x|+1\ge 0,\qquad 2x+4-|x|-1\le 0$$
Per la prima abbiamo i due casi
$$x\ge 0\ \Rightarrow\ 3x+5\ge 0\ \Rightarrow\ x\ge 0\\ x<0\ \Rightarrow\ x+5\ge 0\ \Rightarrow\ x\ge -5$$
e quindi la soluzione $x\ge -3$,mentre per la seconda
$$x\ge 0\ \Rightarrow\ x+3< 0\ \Rightarrow\ \nexists\ x\in\mathbb{R}\\ x<0\ \Rightarrow\ 3x+3< 0\ \Rightarrow\ x< -1$$
e quindi la soluzione $x\le -1$.
Mettendo a sistema si ricava $-5\le x< -1$ che sono i valori per cui la serie converge.

[Sciarra]

ciampax non vorrei contraddirti perchè non credo di avere l' esperienza sufficente per poterlo fare, però permettimi di dire che il mio metodo non è cosi' caotico. Anzi! prima di tutto ho fatto notare che per $x>=0$ la funzione tangente ha un argomento limitato e non può che divergere ad infinito.
Come seconda cosa ho studiato la serie per $x<=0$ e ho semplicemente detto, invece di usare il criterio di Liebniz ( che secondo me non era necessario se non quando la tangente assume il valore puntuale di 1) , che essendo la tangente una funzione esponenziale allora essa tenderà a zero più velocemente della serie armonica al suo fianco. Infine mi sono chiesto: dove la tangente è compresa tra -1 e 0 per x negative? quando $-pi/4<pi/2*y<pi/4=>-1/2<y<1/2=>-5<x<-1$.
Detto questo vediamo se invece converge per $tan(pi/2y)=-1=>x=-5$...allora applicando il criterio di Liebniz , constatato che $|a_(n+1)|<|a_n|$ la serie converge se e solo se $-5<=x<-1$. Inoltre puoi constatare tu personalmente che se $x=-3$ allora la tangente vale $tan(-pi/8)$ che non è il minimo valore per cui la tangente può essere infinitesima....

[ciampax]

Quando ho dico "troppo caos" intendo dire che usi un metodo che ti porta a risolvere più di una disequazione. Sostituire come ho fatto io ti permette di ragionare, separatamente, su una serie semplice e da lì ricavare una semplice disequazione che fornisca le condizioni di convergenza, ecco tutto. Non ho mica detto che hai sbagliato (e a me sembra tu l'abbia preso per questo) ma ti volevo suggerire semplicemente un approccio che evitasse troppe considerazioni. In ogni caso, per quanto riguarda il caso dei valori negativi, io ti consiglierei sempre (e questa è esperienza da docente e da collega di docenti) di usare Leibniz e far vedere che esso vale (fidati, c'è gente che se non li disegni i fiorellini rossi a pallini blu potrebbe perseguitarti per il resto della vita).

Ah, e sopra, alla risoluzione delle disequazioni, ho copia-incollato delle cose e mi ero dimenticato di modificare un 3 in un 5 e un $\le$ in un $<$. Cose che capitano.

[Sciarra]

Ok Ciampax, ma infatti nemmeno io volevo sembrarti scontroso. Ho risposto con tutto il rispetto possibile proprio perchè sò che volevi darmi un consiglio. Il fatto è che purtroppo (e dico putroppo perchè non riesco a farci nulla) cerco sempre di risolvere gli esercizi con i miei metodi e mai di seguire quelli che mi consigliano, a meno che non siano d' obbligo... E' una sfida tra me e me . Comunque ti ringrazio molto per l' intervento e apprezzo sempre chi si fa avanti per aiutare il prossimo, che in questo caso sarei io .
P.S non pensare che se non ho ascoltato il tuo consiglio non l' ho nemmeno preso in considerazione... io leggo e ascolto tutto però il mio istinto cerca di trovare alternative che possano comunque andar bene... Poi è ovvio però: (come mi hanno detto e ricordato oggi):< la matematica non è un opinione!>. Un salutone ciampax e grazie ancora

[ciampax]

Prego. E non ti preoccupare, mica m'ero offeso: ti davo un consiglio da docente.