Equazione Differenziale

[Bisteccone]

ragazzi mi aiutate con questa equazione differenziale
$y'-2ycosx=2(e^(2sinx)cosx)sqrt(y)$

non ho proprio idea di come fare, il metodo di somiglianza non si può applicare e i raccoglimenti non mi potano a nessuna parte

[ostrogoto]

E' un equazione di Bernulli:
$ y'+p(x)y=q(x)y^alpha $ (1)
che si puo' ricondurre a una equazione lineare con
$ (y')/y^alpha+p(x)y^(1-alpha)=q(x) $
e un cambio di variabile $ z=y^(1-alpha) $
calcola z' e sostituisci in (1).

[Bisteccone]

ok, grazie, ho capito. ora mi puoi aiutare con questa
$ y'''-2y''+y'=e^x+2$

non so bene come affrontare questo caso con la presenza di una costante, se prendo in considerazione l'equazione omogenea
$y^3-2y^2+y$ usando ruffini trovo come soluzioni 0 con molteplicità 1 e 1 con molteplicità 2, quindi per il metodo si somiglianza pongo $y=kx^2e^x$

quindi a questa $ y'''-2y''+y'=e^x+2$ e vado a sostituire le derivate e trovo k, giusto? oppure devo farla in un'altra maniera per via della costante al secondo membro

[ciampax]

La soluzione dell'omogenea è $y=C_1+(C_2+C_3 x)e^x$. Per quanto riguarda la soluzione particolare, dal momento che sono già presenti la soluzione costante e quella esponenziale, devi usare una cosa del tipo $y_p=ax+bx^2 e^x$ (molteplicità costante 1 implica moltiplicare per $x^1$, molteplicità dell'esponenziale 2, implica moltiplicare per $x^2$).

[Bisteccone]

scusa, ma perchè la costante ha molteplicità 1? le soluzioni di $y^3-2y^2+y=0$ sono 0 con molteplicità 1 e 1 con molteplicità 2 quindi l'esponenziale ha molteplicità 2 ma la costante mica ne ha?

[ciampax]

Se una delle soluzione dell'associata è $\lambda=0$, essa corrisponde alla funzione $e^{0x}=1$, cioè la costante. Riflettere, prima di parlare, non è male.

[Bisteccone]

ok, avevo capito un'altra cosa, tra poco lo svolgo e posto la soluzione così vediamo se va bene

[Bisteccone]

ok, allora pongo $y_p=ax+bx^2e^x $
$y'=a+b(2xe^x+x^2e^x) $
$y''=b(2e^x+4xe^x+x^2e^x)$
$y'''=b(5e^x+6xe^x+x^2e^x)$

quindi
$e^x(b2x+bx^2-4b-8bx-2bx^2+5b+6bx+bx^2-1)+a-2=0$

nella parentesi di di $e^x$ basta prendere i termini noti quindi

$-4b+5b-1=0$ $rArr$ $b=1$

e poi $a=2$

perciò $y=C_1+(C_2+xC_3)e^x+2x+x^2e^x$ giusto? anche se non controlli i calcoli basta che mi confermi il ragionamento

un'ultima domanda, quando ho
$y''-2y'+y=(e^x)/x$ come devo ragionare? devo usare il metodo della risposta impulsiva?

[ciampax]

Sì, tutto giusto.

Per la seconda il metodo di somiglianza (quello usato prima) non vale. Devi usare la variazione delle costanti (o del Wronskiano). Lo conosci?

[Bisteccone]

si lo conosco, non ci avevo proprio pensato, grazie mille