Condizioni normalizzabilità spazio lineare topologico

[DavideGenova]

Ciao, amici! Leggo sul Kolmogorov-Fomin un teorema, purtroppo non dimostrato, secondo cui ogni spazio topologico lineare (in cui le operazioni lineari sono continue, ma non si richiede che sia $T_1$) separabile, localmente limitato e localmente convesso è normalizzabile, cioè è definibile in esso una norma che induce la topologia dello spazio.
Cercando in rete dimostrazioni di questo fatto ho solo trovato una dimostrazione, da Functional analysis del Rudin, per cui uno spazio lineare topologico è normalizzabile se e solo se è $T_1$ e possiede un aperto convesso limitato contenente lo $0$. Questa condizione direi che sia, date le proprietà degli spazi topologici lineari, del tutto equivalente a locale limitatezza \(\land\) locale convessità.

Qualcuno sa se uno spazio topologico lineare localmente limitato e localmente convesso separabile è necessariamente $T_1$?
Non sarà che nel Kolmogorov-Fomin (trad. italiana) spazio topologico lineare separabile stia per $T_1$-spazio topologico lineare cpme quando si chiama topologia separabile la topologia di un $T_1$-spazio?
$\infty$ grazie a tutti!

[dissonance]

Ciao DAvide, una risposta al volo: non ti fissare su questi tecnicismi, uno spazio vettoriale topologico interessante è sempre di Hausdorff, quindi a maggior ragione anche T1. Anche qui, sono dettagli inutili e che offuscano il quadro generale. Vai avanti, passa a cose più interessanti invece di fermarti su queste quisquilie

[DavideGenova]

OK, grazie!!!

EDIT: Chiarita presenza di linguaggio bivalente.