Esercizio su funzione inversa

[Nicocata]

Salve ragazzi vorrei risolvere i miei dubbi su alcuni esercizi:

1) la funzione $ f(x)=cos(1/x) $ è invertibile se x appartiene all'intervallo di estremi uno e +infinito (chiuso a destra) e non lo è nell'intervallo di estremi 0 e 1 aperto a sinistra, chiuso a destra

Ho risposto che non è invertibile nel secondo intervallo perché non è monotona nell'intervallo. Infatti non esiste $ lim_(x -> o^+) f(x) $ .
E' corretto?

2) Il secondo esercizio non è altro che un prolungamento del primo e chiede di determinare l'insieme di definizione della funzione inversa.

$ f(x)=cos(1/x) $ quindi la funzione inversa dovrebbe essere $ f^-1(y)=1/(arcocosen(y)) $

Devo imporre semplicemente il denominatore diverso dal valore nullo o devo considerare anche che $ |y|<= 1 $ ?


Per favore rispondete con argomentazioni semplici perché sono alle prime armi

[Brancaleone]

Ciao Nicocata

1) la funzione $ f(x)=cos(1/x) $ è invertibile se x appartiene all'intervallo di estremi uno e +infinito (chiuso a destra)

No un attimo: la funzione è invertibile anche un pochino prima del punto $x_0=1$ - cosa intendi con "chiuso a destra"? Un intervallo tipo $(n,+oo]$ non ha senso.

Ho risposto che non è invertibile nel secondo intervallo perché non è monotona nell'intervallo.

Ok, ma come ho detto controlla dove finisce questo intervallo.

Infatti non esiste $ lim_(x -> o^+) f(x) $ .

Questa non penso sia una motivazione valida: anche $lim_(x->0) 1/x$ non esiste, eppure $g(x)=1/x$ è invertibile in tutto il suo dominio.

2) Il secondo esercizio [...] chiede di determinare l'insieme di definizione della funzione inversa.

$ f(x)=cos(1/x) $ quindi la funzione inversa dovrebbe essere $ f^-1(y)=1/(arcocosen(y)) $

Attento: la funzione inversa è $f^-1(x) = 1/(f(x))=1/(cos(1/x))$

[Nicocata]

Per quanto riguarda il primo esercizio ho sbagliato, intendevo chiuso a sinistra, è stato un errore di distrazione...
Per quanto riguarda il secondo non capisco, questo é il reciproco, non la funzione inversa a mio avviso

[Brancaleone]

Per quanto riguarda il secondo non capisco, questo é il reciproco, non la funzione inversa a mio avviso

D'oh! Hai ragione, mi sono confuso, scusa

[Nicocata]

Quindi la funzione inversa che ho scritto è corretta?