Calcolare potenza erogata e dissipata in un circuito

[Shark.tp]

Ciao a tutti, sto preparando un esame, e mi sono bloccato sul seguente esercizio:
Nel circuito in figura [vedi allegato] si ha E1 = 3 V, E2 = 1 V, R1 = 5 ohm, R2 = 2 ohm, R3 = 4 ohm. Calcolare la potenza dissipata nelle tre resistenze; calcolare la potenza erogata da ciascuna batteria.
[soluzioni: 346 mW in R1; 50 mW in R2; 709 mW in R3; 1.26 W erogata dalla batteria 1; -158 mW erogata dalla batteria 2]

Ecco il mio ragionamento: sfruttando la legge di Kirchoff ottengo il seguente sistema:

E1 = R1*I1 + R3*I3;
-E2 = R1*I1 + R2*I2;
E1-E2 = R2*I2 + R3*I3.

Svolgendo i calcoli, ricavo le tre correnti parziali:
I1= 0A;

I2= $2/4$A;

I3= $6/8$A.

A questo punto è già chiaro che commetto qualche errore, visto che la potenza dissipata dalla resistenza 1 sarebbe pari a zero. Il problema è che non riesco a trovare l'errore
Sicuramente sarà evidente la mia negazione per la fisica.... Qualcuno è in grado di aiutarmi a capire l'errore, e a risolvere quindi l'esercizio?

[axpgn]

Dato che le incognite sono tre, ti manca la terza equazione (che sarebbe quella del nodo); comunque non mi tornano la seconda e la terza equazione: qual è il verso delle correnti? perché non mi sembrano coerenti tra le diverse equazioni ...

Cordialmente, Alex

[RenzoDF]

Per risolvere quella rete non puoi usare tre equazioni alle maglie (KVL) in quanto non risultano indipendenti ma devi usare due equazioni alle maglie ed una al nodo (KCL) e per scriverle, così come per rendere possibile il loro controllo, bisogna prima specificare il verso (arbitrariamente) scelto per le correnti nella rete, se per esempio la scelta fosse la seguente,

fig.1

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delle tue tre equazioni la prima sarebbe corretta, ma nella seconda e nella (ridondante) terza, ci sarebbero dei segni errati (ovvero: non $-E_2$ ma $+E_2$ nella seconda e non $R_2I_2$ ma $-R_2I_2$ nella terza).

Se provi a riscriverle, poi controlliamo.

Una domanda: conosci altri metodi risolutivi oltre alle leggi di Kirchhoff?

[Shark.tp]

Innanzitutto, ringrazio tutti per le risposte.
Prendendo per buono, per comodità, il verso per le correnti nella rete postato da Renzo, riscrivo le prime due equazioni:

$E_1$ = $R_1I_1 + R_3I_3$

$E_2$ = $R_1I_1 + R_2I_2$

Aggiungo l'equazione ottenuta sfruttando il primo principio di Kirchhoff sul nodo A (sempre facendo riferimento alla figura postata da Renzo:

$I_1$ = $I_2 + I_3$

Svolgendo i calcoli, ottengo i seguenti risultati:
$I_1$ = $25/63$ A

$I_2$ = $1/7$ A

$I_3$ = $16/63$ A

Calcolo quindi la potenza dissipata dalle tre resistenze tramite la formula $P$ = $RI^2$:

$P_1$ = 787 mW

$P_2$ = 20 mW
$P_3$ = 630 mW

Purtroppo il risultato non è giusto nemmeno questa volta, comunque provo ad andare avanti per vedere se quantomeno il procedimento è giusto!

Calcolo $I_tot$ sommando le varie I trovate = 0,80 A.
Infine calcolo la potenza delle batterie tramite la formula $P$ = $V*I$
$P_1$ = 2,4 W
$P_2$ = 0,80 W.

Una domanda: conosci altri metodi risolutivi oltre alle leggi di Kirchhoff?

No, purtroppo conosco solamente questo metodo per risolvere questa tipologia di esercizio per caso conosci qualche "barbatrucco" per semplificarmi la vita? Teoricamente questo dovrebbe essere un esercizio semplice, invece - errori a parte - impiego comunque molto tempo a giungere al risultato finale!

[RenzoDF]

... Purtroppo il risultato non è giusto nemmeno questa volta ...

Mi sa che, pur avendo scritto tre corrette equazioni, non hai risolto bene quel sistema,

a me o meglio, a Maxima, risulta

... Calcolo $I_tot$ sommando le varie I trovate = 0,80 A....

Scusa ma perché vai a sommare le correnti?
Il primo generatore erogherà la sola corrente I3, mentre il secondo la I2, devi usare quelle due correnti per calcolare le potenze generate.

... per caso conosci qualche "barbatrucco" per semplificarmi la vita? ....

Conosco diversi metodi alternativi, uno di questi può essere il teorema di Millman, ma se non l'avete in programma, non vorrei che come spesso accade il professore non ammetta che tu vada a risolvere in quel modo, sai, ... in H-demia, a volte non è consentito essere troppo "sapienti".

... Teoricamente questo dovrebbe essere un esercizio semplice, invece - errori a parte - impiego comunque molto tempo a giungere al risultato finale!

Non ti scoraggiare, è solo questione di esercizio, ... tanto, TANTO esercizio!

[Shark.tp]

... Teoricamente questo dovrebbe essere un esercizio semplice, invece - errori a parte - impiego comunque molto tempo a giungere al risultato finale!

Non ti scoraggiare, è solo questione di esercizio, ... tanto, TANTO esercizio!

Si, sicuramente è solo questione di allenamento! Per fortuna ho ancora un mesetto per prepararmi per bene, prendersi per tempo serve!

Dici bene sulla preparazione! Infatti Millman non è a programma, tuttavia la tentazione di mandare una mail al docente è forte! Vedremo, intanto mi metto a fare parecchia pratica su questo metodo di risoluzione, e vediamo. Se proprio vedo che faccio fatica, provo a studiarmi il metodo alternativo e nel caso chiedo se mi sarà possibile usarlo in sede di esame! Comunque grazie per avermelo consigliato!

Per quanto riguarda l'esercizio, nel pomeriggio provo a rifarlo. Ieri sera ero stanco, quindi è possibile che io mi sia perso dei pezzi durante la risoluzione
Effettivamente anche l'errore nella seconda parte dell'esercizio era evitabile, pensandoci un pò.

Grazie ancora a tutti per l'aiuto!

[RenzoDF]

Beh, conoscere Millman ti potrebbe essere comunque sempre utile per controllare i tuoi risultati.
Lo puoi applicare tutte le volte che vedi una rete binodale come quella in oggetto per andare a determinare la differenza di potenziale fra i due nodi.
Nel nostro caso, usando per comodità di scrittura le conduttanze avremo che

$V_{AB}=\frac{E_1G_3+E_2G_2}{G_1+G_2+G_3}$