Sistemi di riferimento e velocità angolare

[Alfano]

Buona sera, sto studiando i sistemi rigidi in meccanica analitica e c'è una cosa che mi lascia perplesso.
Il capitolo inizia distinguendo tra un sistema di riferimento fisso e uno solidale con il corpo rigido, inoltre questo è vincolato in un punto che coincide con l'origine dei due sistemi di riferimento quindi il corpo rigido può solo ruotare attorno a questo punto. Poi, sempre con le stesse ipotesi, viene introdotto il momento angolare e ne viene data la definizione sia nel sistema fisso che in quello mobile, poi viene data la definizione di energia cinetica nei due sistemi di riferimento.
Ora mi chiedo, essendo il sistema di riferimento mobile solidale col corpo rigido, questo non dovrebbe essere in quiete in questo sistema di riferimento? Lo dice anche il libro all'inizio del capitolo, ma poi nelle formule compare comunque la velocità angolare riferita al sistema mobile. Questa non dovrebbe essere 0? e così anche il momento angolare e l'energia cinetica?

[navigatore]

Hai mai visto questa relazione tra la derivata del momento angolare nel riferimento fisso e quella nel riferimento mobile ?

$[(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omega\timesvecL $

talvolta il riferimento fisso è chiamato "spazio del laboratorio" o " assoluto" , il riferimento mobile è chiamato "spazio del corpo" .

La seconda equazione cardinale della dinamica dice che se il sistema è isolato, quindi non c'è momento di forze esterne, il vettore momento angolare si conserva "nel laboratorio" . Percio il primo membro è nullo. Ma ciò non toglie che, nel caso più generale , il momento angolare possa variare rispetto al corpo, e così pure la velocità angolare, visto che il secondo membro è fatto di due termini. Il riferimento mobile è certamente fisso nel corpo, lo si sceglie così per comodità, con gli assi coincidenti con la terna centrale di inerzia, o comunque con la terna principale di inerzia relativa al punto fisso.
Ci sono poi i casi in cui l'asse ruota proprio attorno ad uno degli assi principali di inerzia , e allora i vettori $vec\omega$ e $vecL$ sono paralleli. Ma in generale non è così. In generale risulta :

$vecL = [I] vec\omega$

dove $[I]$ è la matrice di inerzia definita nel punto fisso. Se gli assi sono principali di inerzia (o centrali) , la matrice è diagonale , e si ha : $vecL = (I_1\omega_1, I_2\omega_2, I_3\omega_3) $

Quando $\vecL$ è costante nel laboratorio, esso è perpendicolare a un piano invariante nello spazio assoluto. Il moto si può descrivere alla Poinsot, utilizzando l'ellissoide di inerzia: tale ellissoide rotola sul piano invariante, e il punto di contatto descrive sul corpo e sul piano due curve, che si chiamano "poloide" ed "erpoloide" .

[Alfano]

No quella relazione ancora non l'ho incontrata, oppure si ma non me la ricordo xD
Comunque il mio dubbio rimane... nel secondo membro di quella relazione L e w sono riferiti al sistema del corpo giusto? Ma io mi immagino di stare in quel sistema di riferimento e qualunque sia il moto del corpo io lo vedrei fisso, quindi non dovrebbe avere nè momento angolare nè velocità angolare. Perchè non è così?

[navigatore]

Perché sia il momento angolare che la velocità angolare possono variare rispetto al corpo. Se quindi tu sei incollato al riferimento principale di inerzia relativo al punto fisso, puoi vedere la variazione dell'uno e dell'altro.

Se non ho capito quale è il tuo dubbio, dovresti avere la bontà di chiarirlo meglio.

[Alfano]

Anche se il sistema di riferimento (non inerziale) ruota insieme al corpo?
E' vero che posso misurare gli effetti con le forze apparenti, ma formalmente la velocità angolare riferita al sistema non inerziale non dovrebbe essere nulla?

[navigatore]

No, continuo a non capirti. Allora, vuoi avere la bontà di ricominciare da capo per favore ? Probabilmente il dubbio non è chiaro nemmeno a te. Vorrei sinceramente aiutarti, ma per farlo ho bisogno di comprendere dove è l'intoppo. Io ti ho detto quello che potevo sulla base di quanto hai chiesto.

E non è detto che io ci riesca, a chiarire il dubbio.

[Alfano]

Scusami provo a ripetere in maniera più chiara e grazie per l'attenzione intanto.

Allora, c'è un corpo rigido con un punto fisso O, che quindi ha un moto puramente rotatorio.
Ci sono un sistema di riferimento fisso e uno solidale con il corpo rigido, quindi il secondo sistema di riferimento non è inerziale se il corpo ha una velocità angolare variabile. Le origini di entrambi i sistemi coincidono con O.
Se volete leggete qui a pagina 1, paragrafo 42.2:
http://www.mat.uniroma3.it/users/gentil ... /cap10.pdf

Il mio dubbio è questo:
la velocità angolare del corpo misurata nel sistema di riferimento solidale col corpo stesso (e così anche il momento angolare e l'energia cinetica) non dovrebbe essere nulla?
Il testo dice anche "quindi nel sistema K il sistema rigido è in quiete".

[navigatore]

Si certo, il riferimento $K$ maiuscolo è solidale al corpo. Sono tre assi geometrici inchiodati al corpo.

Ma il vettore momento angolare e il vettore velocità angolare possono in generale variare nel corpo, cioè rispetto al riferimento $K$ , che all'inizio è assunto generico.
Più avanti il testo parla dei coni di Poinsot, li mostra anche in figura 44.3 per le precessioni regolari.

Più avanti, nel paragrafo 44.2 , dice quello che ti avevo anticipato : in assenza di forze esterne, il vettore momento angolare si conserva nello spazio fisso , ma in generale non nel corpo , formula 44.1 .

Assumendo come terna di riferimento $K$ la terna principale di inerzia relativa al punto fisso, non più una terna generica, e scomponendo il vettore velocità angolare $vec\Omega$ secondo tale terna, si scrivono le equazioni di Eulero , senza momenti di forze esterne, eq. 44.3 , oppure con momenti di forze esterne, eq. 44. 4 e 44.5 .

Più avanti , fa l'esempio del libro fatto ruotare attorno a ciascuno dei tre assi centrali di inerzia; guardalo in questo filmato girato nella stazione spaziale internazionale :

viewtopic.php?f=19&t=136002#p866606

[Alfano]

Ok grazie, ho capito...

ho visto il video, è bellissimo
la situazione in cui il libro si metta a ruotare perfettamente senza che il momento angolare descriva un cono, nel caso dell'asse intermedio... è una posizione di equilibrio instabile, se ho capito bene

[navigatore]

La situazione di rotazione instabile è quella in cui l'asse di rotazione è parallelo al lato corto della copertina del libro. Lo dice pure la tua dispensa, se ricordo bene.