Integrale

[Zumbo]

Come risolvereste questo integrale??? Io ho provato per parti ma si complica abbastanza....cosa posso fare??? $ int_(1)^(x) e^(-2/x)(x^2+x+1)/x^2 dx $

[Brancaleone]

Questa funzione integrale non è esprimibile attraverso funzioni elementari. In generale quando hai per le mani una funzione integrale o un integrale improprio devi prima di tutto verificarne il dominio (i.e. controllarne la convergenza), e solo in seconda battuta provare a risolverlo - se umanamente possibile. Qui puoi trovare molte informazioni su questo tipo di esercizi.

[onlyReferee]

Ciao Zumbo
Anziché procedere direttamente per parti io cercherei innanzitutto di spezzare l'integrale in maniera intelligente, ossia:
\[
\int_0^x e^{-\frac{2}{x}} \frac{x^2 + x + 1}{x^2} dx = \int_0^x e^{-\frac{2}{x}} \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx = \\ \int_0^x e^{-\frac{2}{x}} dx + \int_0^x e^{-\frac{2}{x}} \frac{1}{x} dx + \int_0^x e^{-\frac{2}{x}} \frac{1}{x^2} dx\]
Di questi tre integrali (premetto che non ho avuto modo di completare tutti i conti fino alla fine):

• Il primo si può risolvere per parti pensando ad $1$ come fattore differenziale e ad $e^{-\frac{2}{x}}$ come fattore finito. Ovviamente sarà necessario applicare la formula più volte;
• Anche il secondo lo si può risolvere per parti. In tal caso il fattore differenziale è $e^{-\frac{2}{x}}$ ed $\frac{1}{x}$ quello finito;
• Il terzo (ed ultimo) è praticamente immediato a meno di costante moltiplicativa $2$.

Spero di esserti stato d'aiuto.

[Zumbo]

Brancaleone: Su Wolfram Alpha c'è però una soluzione che sembra molto lineare...
OnlyReferee: Ho provato già questo metodo ma per parti mi blocco perchè l'integrale si complica.. :S

[Brancaleone]

Brancaleone: Su Wolfram Alpha c'è però una soluzione che sembra molto lineare...

Questa ti sembra lineare?

\[
\int_0^x e^{-\frac{2}{x}} \frac{x^2 + x + 1}{x^2} dx = \int_0^x e^{-\frac{2}{x}} \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx = \\ \int_0^x e^{-\frac{2}{x}} dx + \int_0^x e^{-\frac{2}{x}} \frac{1}{x} dx + \int_0^x e^{-\frac{2}{x}} \frac{1}{x^2} dx\]
Di questi tre integrali (premetto che non ho avuto modo di completare tutti i conti fino alla fine):

• Il primo si può risolvere per parti pensando ad $1$ come fattore differenziale e ad $e^{-\frac{2}{x}}$ come fattore finito. Ovviamente sarà necessario applicare la formula più volte;
• Anche il secondo lo si può risolvere per parti. In tal caso il fattore differenziale è $e^{-\frac{2}{x}}$ ed $\frac{1}{x}$ quello finito;
• Il terzo (ed ultimo) è praticamente immediato a meno di costante moltiplicativa $2$.

Solo l'ultimo è esprimibile attraverso metodi elementari, i primi due non si possono risolvere in questo modo.

[Zumbo]

Ok, lo lascio stare, non credo sia così cattivo da metterlo all'esame! xD

[onlyReferee]

Ho notato che effettuando la sostituzione $\frac{2}{x} = t$ nell'integrale si riesce a determinare un'espressione in cui compaiono degli integrali che rappresentano la funzione gamma incompleta inferiore per cui, se non erro, si conoscono i valori (si possono ricavare dalle apposite tabelle ad esempio). In questo caso le distribuzioni di probabilità ci vengono pertanto in aiuto.
Appena ho un attimo di tempo se volete posto il procedimento.

[Zumbo]

Grazie mille!

[onlyReferee]

Come promesso riporto di seguito un procedimento alternativo per calcolare l'integrale:
\[
\int_1^x e^{-\frac{2}{x}} \frac{x^2 + x + 1}{x^2} dx = \left[\frac{2}{x} = t, x = \frac{2}{t}, dx = -\frac{2}{t^2} dt \right] =
\int_2^x e^{-t} \frac{\frac{4}{t^2} + \frac{2}{t} + 1}{\frac{4}{t^2}} \left(-\frac{2}{t^2}\right) dt = \\
-\int_2^x e^{-t} \left(\frac{2}{t^2} + \frac{1}{t} + \frac{1}{2} \right) dt = - \left(2\int_2^x t^{-2}e^{-t} dt + \int_2^x t^{-1}e^{-t} dt + \frac{1}{2} \int_2^x e^{-t} dt \right) =\\
-\left(2\left(\int_0^x t^{-2}e^{-t} dt - \int_0^2 t^{-2}e^{-t} dt\right) + \int_0^x t^{-1}e^{-t} dt - \int_0^2 t^{-1}e^{-t} dt + \frac{1}{2}\left[-e^{-t}\right]_2^x\right)
\]
Ora detta $\gamma(a, b)$ la funzione Gamma incompleta inferiore (cfr qui) con parametri $a$ e $b$ possiamo evidenziare le seguenti quantità:
\[
\int_0^x t^{-2}e^{-t} dt = \gamma(-1, x)\\
\int_0^2 t^{-2}e^{-t} dt = \gamma(-1, 2)\\
\int_0^x t^{-1}e^{-t} dt = \gamma(0, x)\\
\int_0^2 t^{-1}e^{-t} dt = \gamma(0, 2)
\]
Ora, volendo approfondire il calcolo, sicuramente vi sono dei sistemi per determinare numericamente tali integrali (credo esistano delle tavole apposite che forniscano alcuni valori dello stesso).

[Zumbo]

Grazie mille davvero !!!