Faccio Matematica senza essere intelligente.

[Schiele.]

Sono ormai iscritto da tre anni a Matematica e continuo ad ottenere altissimi voti, sono il migliore del mio corso. Ma non sono intelligente. O forse i matematici sono troppo stupidi. Gli strumenti fondamentali del matematico, le dimostrazioni, non riesco ad accettarla. A parte l'evidentissima dimostrazione diretta, le due rimanenti le rigetto. Il principio d'induzione non lo ritengo vero. Spiegarlo affermando che ''se ho dimostrato per un certo n, mettiamo uno, e ho dimostrato la proposizioje generale che se vale per un certo n allora vale anche per n+1' allora vale anche per due, e poi stesso ragionamento per tre'' è ridicolo per chi ha un minimo di intelligenza e riesce a distinguere tra un infinito potenziale e un infinito attuale. Facendo così infatti non posso valutare in eterno, sará vero il percorso fino a quando voglio, ma fino a quando ci arrivo io, andando avanti. O al limite prendendo un computer potentissimo velocizzerò le cose, ma non riuscirò mai a ''vedere'' tutte le infinite proposizioni vere. Per quanto riguarda invece la dimostrazione per assurdo, una volta giunti alla contraddizione si dice ''perciò l'ipotesi non può essere vera, dev'essere vero il contrario'' senza però dire da dove arriva quel ''perciò''. Lo dite voi, perchè vi sembra ''strano'' e quindi aggiungete ''perciò'' ma una giustificazione a questo perciò non c'è.

[Kashaman]

Onestamente, non capisco il senso di questo post. Mi verrebbe da risponderti : e quindi?
Beh, si è vero : una laurea in Matematica non ti rende un Matematico, così pure voti da lode non indicano il fatto che tu sia un genio; su questo ti do ragione.
Non capisco tuttavia come mai in questi tre anni tu non ti sia mai preso la briga di cercar di cercare di fare chiarezza su queste tue perplessità... basilari e necessarie per capire, almeno un po', quello che si studia in tre anni.

[Zero87]

Senza perdersi nei meandri della risposta alla domanda "cos'è l'intelligenza" ci sono persone intelligentissime nemmeno diplomate o che non sanno usare un pc. Non è una laurea o uno studio a far acquisire una determinata intelligenza.

PS. Se non ricordo male, il principio di induzione è un assioma con cui si costruisce $\NN$.

[Schiele.]

Senza perdersi nei meandri della risposta alla domanda "cos'è l'intelligenza" ci sono persone intelligentissime nemmeno diplomate o che non sanno usare un pc. Non è una laurea o uno studio a far acquisire una determinata intelligenza.

PS. Se non ricordo male, il principio di induzione è un assioma con cui si costruisce $\NN$.

Infatti io per essere ''sereno'' prendo tutta la matematica come un gioco di simboli ma è evidente che le veritá matematiche abbiano valore di per sè, non è solo un gioco. O almeno, le hanno per i matematici, per me no in quanto ritengo falsi gli strumenti di dimostrazione. Per Kashaman: appunto perchè sono basilari sono più complessi. Evidentemente tu ti sei accontentato di non rifletterci a lungo e quindi hai preso le cose così a intuito.

[stormy]

@schiele
a mio parere,i tuoi voti alti sono ascrivibili alla categoria dei fenomeni paranormali
raramente ho letto in così poche righe un tale cumulo di sciocchezze

edit: il titolo del thread è ineccepibile

[Schiele.]

@schiele
a mio parere,i tuoi voti alti sono ascrivibili alla categoria dei fenomeni paranormali
raramente ho letto in così poche righe un tale cumulo di sciocchezze

edit: il titolo del thread è ineccepibile

Hai una mentalitá poco filosofica amico mio. Volendo potrei andare oltre e chiederti perchè sei tanto convinto che le ipotesi abbiano valore nella realtá, sono solo dei pensieri in fondo, chi ti da l'autorizzazione di usarli come specchi della realtá? Es.

Immaginiamo di fare un ragionamento matematico per dimostrare un teorema e che tu alla fine mi proponga la tua dimostrazione. Perchè dovrei fidarmi del tuo ragionamento, riferito solo ai tuoi pensieri? Effettivamente poi, andando a verificare scopro che è proprio come dici tu. Ma questa non è una cosa ovvia. Chi ti da la sicurezza che i tuoi ragionamenti alla fine valgano effettivamente nel mondo matematico? Mi spiego meglio: leggo la dimostrazione del teorema di Lagrange. Andando su una particolare funzione scopro che funziona proprio come dice il teorema. Ma la funzione che ho davanti è la realtá, è una cosa attuale. Il ragionamento invece che fa il libro o chi me lo dimostra sulla lavagna è un insieme di immagini mentali collegate logicamente. Chi mi assicura che di queste immagini mentali (idee) io possa servirmene per prevedere implicazioni nella realtá (nel nostro caso nel mondo matematico)?

[Schiele.]

Ragazzi, sapevo che il massimo dei vostri commenti sarebbe stato ''sono cose basilari'', ''stai dicendo delle sciocchezze''. Lo so che non sapete rispondere a queste domande, io sono impazzito fidatevi per dargli una risposta. Nessuno di voi ha provato a rispondere concretamente a quello che dico e me lo aspettavo, sinceramente.

[Epimenide93]

Non sei (necessariamente) poco intelligente, sei un [neo]intuizionista. Non sei il solo. Certo, i matematici intuizionisti costituiscono una sparuta minoranza, in quanto generalmente i matematici sono (più o meno consapevolmente) formalisti o [neo]platonici. (Per esperienza sono portato a dire che quelli che non si pongono il problema sono in genere formalisti ignari.)

Puoi continuare tranquillamente la tua carriera da matematico (se è quel che vuoi fare) facendo matematica intuizionista, sono pochi i posti in cui la si porta avanti, ma ci sono. Banalizzando, chi opera in quel campo si occupa di riscoprire l'acqua calda, ma in maniera costruttiva, oppure di giocare con ipotesi ed enunciati per trovare il risultato costruttivo che più si avvicina alla versione non costruttiva. Il che è molto utile per le implementazioni di tipo informatico, ad esempio. Nella storia è capitato sia che dimostrazioni costruttive di fatti già dimostrati altrimenti abbiano portato ad una maggiore comprensione dell'argomento in questione, sia che una dimostrazione costruttiva abbia portato solo una valanga di contazzi poco significativi. È un lavoro ingrato fare matematica seria senza l'assioma della scelta, ma se senti di avere la vocazione ben venga. Mi viene in mente che c'è un utente di questo forum cui ho sentito dire più volte (a titolo d'esempio) che sarebbe curioso di vedere che apporto alla matematica potrebbe dare una dimostrazione costruttiva del teorema di Van Kampen.

I logici si pongono il problema molto più dei matematici, tanto è vero che la logica intuizionista si sviluppa parallelamente alle altre ed è un campo molto attivo. Probabilmente uno spirito come il tuo può essere utile per favorire una certa coesione di un lavoro propriamente matematico col lavoro dei logici. Se mastichi l'inglese puoi documentarti facilmente sullo stato dell'arte degli approcci costruttivi ai vari rami della matematica.

Detto ciò, è comunque evidente che sei il primo ad avere problemi a distinguere tra infinito potenziale e attuale. Il principio di induzione funziona con un infinito potenziale, infatti tu non ottieni un passaggio al limite applicandolo, ma solo la garanzia della validità per qualsiasi quantità finita. Con la comune costruzione/identificazione di \(\mathbb{N}\) con i cardinali finiti hai che \(\aleph_0 \not\in \mathbb{N}\), non ha proprio senso mettere in relazione il principio di induzione con un infinito attuale. Certo, le cardinalità finite sono infinite, ma non sta lì il punto delicato della questione, a meno che tu non sia anche un finitista/ultraintuizionista. Ad ogni modo quelli in cui vale il principio di induzione od il principio del terzo escluso sono modelli logici come tanti altri, la matematica è grande, c'è gente che lavora su teorie degli insiemi strutturali e gente che lavora su versioni costruttive di ZF, ognuno ha i suoi gusti e sceglie ciò per cui è portato, senza interferire col lavoro degli altri.

D'altro canto dovresti capire che l'impostazione filosofica non ha niente a che fare con la validità degli altri modelli, un sistema assiomatico è quel che è, punto, (così come un caso particolare di una teoria astratta non è qualcosa di più concreto) se non riesci a cogliere la separazione tra quel che tu chiami "realtà" e l'universo matematico (che nomini ma tratti in maniera piuttosto ambigua) o un qualsiasi sistema assiomatico devi lavorarci su, il realismo di Galileo è morto da un pezzo, ora sappiamo che abbiamo dei modelli e dei fenomeni e gente che si occupa di scegliere i modelli adatti per descrivere dei fenomeni, fine, il gap tra fenomeno e modello non è colmabile, il modello è una costruzione puramente astratta, se anche dovesse avere un suo peso ontologico (come io credo che sia) l'intersezione con ciò che riguarda i fenomeni nel senso classico è comunque vuota. Puoi rifiutarlo, ma questa visione è il punto più forte dell'approccio odierno alle scienze e dell'utilizzo dell'astrazione in generale. Io e te siamo agli antipodi, in quanto io sono platonico, e sebbene per me sembri assurdo non accettare l'assioma della scelta (e a dire il vero anche quello di Tarski) almeno quanto a te sembra assurdo il principio del terzo escluso, non mi sognerei mai di usarlo se sto lavorando in ZF duro e puro. La propria personale visione filosofica della matematica è una cosa bella e spesso stimolante, ma essere un matematico significa anche imparare a lavorare in un sistema di assiomi che non ci garba. Puoi trovare più naturale un mondo in cui valga l'ipotesi generalizzata del continuo rispetto ad uno in cui non vale, ma se per qualche motivo lavori ad una teoria in cui viene rifiutata non hai scelta. Se lavori in ambito tradizionale, allora vale il principio del terzo escluso, e devi saperlo usare, punto. Ovviamente quando potrai scegliere tu di cosa occuparti potrai liberartene serenamente. Forse.

[stormy]

se questi fantomatici(come dice mike bongiorno nell'imitazione di fiorello ) matematici(?) intuizionisti si esprimono in questo modo :

Il principio d'induzione non lo ritengo vero

e

Per quanto riguarda invece la dimostrazione per assurdo, una volta giunti alla contraddizione si dice ''perciò l'ipotesi non può essere vera, dev'essere vero il contrario'' senza però dire da dove arriva quel ''perciò''. Lo dite voi, perchè vi sembra ''strano'' e quindi aggiungete ''perciò'' ma una giustificazione a questo perciò non c'è.

allora non ho problemi a dire che l'intuizionismo è una ***

Moderatore: gugo82

@stormy: Se cominciassi ad argomentare, invece che flammare gratuitamente, te ne saremmo infinitamente grati (ed eviteresti una sospensione).

[Schiele.]

Non sei (necessariamente) poco intelligente, sei un [neo]intuizionista. Non sei il solo. Certo, i matematici intuizionisti costituiscono una sparuta minoranza, in quanto generalmente i matematici sono (più o meno consapevolmente) formalisti o [neo]platonici. (Per esperienza sono portato a dire che quelli che non si pongono il problema sono in genere formalisti ignari.)

Puoi continuare tranquillamente la tua carriera da matematico (se è quel che vuoi fare) facendo matematica intuizionista, sono pochi i posti in cui la si porta avanti, ma ci sono. Banalizzando, chi opera in quel campo si occupa di riscoprire l'acqua calda, ma in maniera costruttiva, oppure di giocare con ipotesi ed enunciati per trovare il risultato costruttivo che più si avvicina alla versione non costruttiva. Il che è molto utile per le implementazioni di tipo informatico, ad esempio. Nella storia è capitato sia che dimostrazioni costruttive di fatti già dimostrati altrimenti abbiano portato ad una maggiore comprensione dell'argomento in questione, sia che una dimostrazione costruttiva abbia portato solo una valanga di contazzi poco significativi. È un lavoro ingrato fare matematica seria senza l'assioma della scelta, ma se senti di avere la vocazione ben venga. Mi viene in mente che c'è un utente di questo forum cui ho sentito dire più volte (a titolo d'esempio) che sarebbe curioso di vedere che apporto alla matematica potrebbe dare una dimostrazione costruttiva del teorema di Van Kampen.

I logici si pongono il problema molto più dei matematici, tanto è vero che la logica intuizionista si sviluppa parallelamente alle altre ed è un campo molto attivo. Probabilmente uno spirito come il tuo può essere utile per favorire una certa coesione di un lavoro propriamente matematico col lavoro dei logici. Se mastichi l'inglese puoi documentarti facilmente sullo stato dell'arte degli approcci costruttivi ai vari rami della matematica.

Detto ciò, è comunque evidente che sei il primo ad avere problemi a distinguere tra infinito potenziale e attuale. Il principio di induzione funziona con un infinito potenziale, infatti tu non ottieni un passaggio al limite applicandolo, ma solo la garanzia della validità per qualsiasi quantità finita. Con la comune costruzione/identificazione di \(\mathbb{N}\) con i cardinali finiti hai che \(\aleph_0 \not\in \mathbb{N}\), non ha proprio senso mettere in relazione il principio di induzione con un infinito attuale. Certo, le cardinalità finite sono infinite, ma non sta lì il punto delicato della questione, a meno che tu non sia anche un finitista/ultraintuizionista. Ad ogni modo quelli in cui vale il principio di induzione od il principio del terzo escluso sono modelli logici come tanti altri, la matematica è grande, c'è gente che lavora su teorie degli insiemi strutturali e gente che lavora su versioni costruttive di ZF, ognuno ha i suoi gusti e sceglie ciò per cui è portato, senza interferire col lavoro degli altri.

D'altro canto dovresti capire che l'impostazione filosofica non ha niente a che fare con la validità degli altri modelli, un sistema assiomatico è quel che è, punto, (così come un caso particolare di una teoria astratta non è qualcosa di più concreto) se non riesci a cogliere la separazione tra quel che tu chiami "realtà" e l'universo matematico (che nomini ma tratti in maniera piuttosto ambigua) o un qualsiasi sistema assiomatico devi lavorarci su, il realismo di Galileo è morto da un pezzo, ora sappiamo che abbiamo dei modelli e dei fenomeni e gente che si occupa di scegliere i modelli adatti per descrivere dei fenomeni, fine, il gap tra fenomeno e modello non è colmabile, il modello è una costruzione puramente astratta, se anche dovesse avere un suo peso ontologico (come io credo che sia) l'intersezione con ciò che riguarda i fenomeni nel senso classico è comunque vuota. Puoi rifiutarlo, ma questa visione è il punto più forte dell'approccio odierno alle scienze e dell'utilizzo dell'astrazione in generale. Io e te siamo agli antipodi, in quanto io sono platonico, e sebbene per me sembri assurdo non accettare l'assioma della scelta (e a dire il vero anche quello di Tarski) almeno quanto a te sembra assurdo il principio del terzo escluso, non mi sognerei mai di usarlo se sto lavorando in ZF duro e puro. La propria personale visione filosofica della matematica è una cosa bella e spesso stimolante, ma essere un matematico significa anche imparare a lavorare in un sistema di assiomi che non ci garba. Puoi trovare più naturale un mondo in cui valga l'ipotesi generalizzata del continuo rispetto ad uno in cui non vale, ma se per qualche motivo lavori ad una teoria in cui viene rifiutata non hai scelta. Se lavori in ambito tradizionale, allora vale il principio del terzo escluso, e devi saperlo usare, punto. Ovviamente quando potrai scegliere tu di cosa occuparti potrai liberartene serenamente. Forse.

Si, esattamente, grazie mille. Il primo che risponde seriamente. Esatto, gli intuizionisti condividono in filosofia della matematica la mia stessa visione delle cose e infatti rigettano la dimostrazione per assurdo. Altra cosa verissima che hai detto è che bisogna accettare, a proprio mal grado, certi modelli quando si lavora a una teoria matematica e infatti, come ho scritto sopra, quando mi trovo a dover lavorare con teorie che cozzano con il mio sistema filosofico gioco ''a dare i simboli'', tratta tutto come un sistema di regole. Per quanto riguarda il principio di induzione, appunto, anche io dico ''è vero fino a quando ci arrivo, cioè è valido oer qualsiasi quantitá finita''. Ancora meglio: più il mio computer è potente più arrivo lontano e il principio di induzione mi garantisce che è vero comunque. Ma sai qual'è la storia? La storia è che mi sembra di essere l'unico pazzo a cui importino queste cose in facoltá, la gente mi da dello strano o dello stupido, mi sento incompreso. Meno male che hai risposto tu, mi sento un pò meno solo.