Intregrale Doppio

[Bisteccone]

mi aiutate con questo integrale

$\int int_A y^2 dxdy$ con
A=$[(x,y)inR^2: (x^2+y^2)^3-y^2<0]$

ho provato a fare
$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$

quindi sostituendo avrò $(rho)^6<(rho)^2(sin(theta))^2$
quindi $rho^4<sin(theta)^2 $
così ho $-sqrt(sin(theta))<rho<sqrt(sin(theta))$
ma poi? come trovo gli estremi di integrazione per $d(theta)$

[stormy]

l'equazione polare della curva $(x^2+y^2)^3-y^2=0$ è $rho=sqrt(|sintheta|)$
non ci sono vincoli riguardo a $theta$
quindi,$theta in [0,2pi],rho in [0,sqrt(|sintheta|)]$

[ciampax]

Osserva che la curva che delimita il dominio può riscriversi in forma esplicita come l'unione delle due curve (simmetriche rispetto a entrambi gli assi)
$$x=\pm\sqrt{y^{2/3}-y^2}$$
A causa di questa simmetria, puoi dedurre che $\theta\in[0,2\pi]$. In ogni caso l'integrale si risolve anche in forma cartesiana con le condizioni
$$-\sqrt{y^{2/3}-y^2}< x<\sqrt{y^{2/3}-y^2},\quad -1\le y\le 1$$
(la condizione per $y$ la trovi risolvendo $y^{2/3}-Y^2\ge 0$.

[Bisteccone]

l'equazione polare della curva $(x^2+y^2)^3-y^2=0$ è $rho=sqrt(|sintheta|)$
non ci sono vincoli riguardo a $theta$
quindi,$theta in [0,2pi],rho in [0,sqrt(|sintheta|)]$

allora, ok per $rho=sqrt(|sintheta|)$ ma non ho capito perchè poi teta è compreso tra 0 e 2 pi greco e perchè
$rho in [0,sqrt(|sintheta|)]$, lo devo che c'entra?

[stormy]

scusa,puoi aggiustare ciò che hai scritto ?

[Bisteccone]

si scusa, fatto

[stormy]

in generale,quando hai un'equazione polare $rho=f(theta)$ essa è definita nei $theta$ per i quali $rho geq 0$
che significa "lo devo che c'entra" ?

[Bisteccone]

ho sbagliato a scrivere, intendevo lo zero che c'entra, però a questo penso che mi hai appena risposto

continuo a non capire il valore di teta, se ho che $rho>=0$ e che
$sqrt(sin(theta))=rho$
allora $sqrt(sin(theta))=rho>=0$ e quindi non dovrei avere
$sqrt(sin(theta))>=0$ ovvero $ sin(theta)>=0$ e quindi $theta$ compreso tra 0 e pi greco?

[stormy]

non hai $sentheta$ ma $|sentheta|$

[Bisteccone]

ah ok, giusto, quindi da questo ricavo che teta è compreso tra 0 e 2 pi greco