Generatori

[alexis9]

Ciao! Volevo chiedere come si fa a dimostrare questa proposizione:

In uno spazio vettoriale V di dimensione n si ha:
- n generatori sono una base;
-n vettori linearmente indipendenti sono una base;

Grazie!

[garnak.olegovitc]

@alexis9, almeno un tuo input/tentativo... soffermati sulla definizione di dimensione e base!

[alexis9]

Io ho provato a dimostrarla, ma non sono molto convinta..
Per il primo punto:
Suppongo che $v_1 , ... , v_n$ sono linearmente indipendenti.
$dimV = n$ $\Rightarrow$ $V$ ha una base di n elementi.
Per il lemma dello scambio, comunque si scelgano $n+1$ elementi di $V$, essi sono linearmente dipendenti.
$\Rightarrow$ prendendo come $n+1$ elementi un qualsiasi elemento $v$ di $V$ si ha che, dati gli scalari $a_1 ,... , a_n$ (e almeno uno di essi sia non nullo) vale:
$av + a_1 v_1 + ... + a_n v_n = 0$ , con $a != 0$ perchè se per assurdo fosse $a=0$ si avrebbe:
$a_1 v_1 + ... + a_n v_n = 0$ ma per ipotesi $v_1 , ... , v_n$ sono linearmente indipendenti $\Rightarrow$ $(a_1 ,... , a_n) = (0, ..., 0)$, che è un assurdo, in quanto almeno uno scalare è non nullo.
Si può dunque scrivere: $v= -a_1 / a * v_1 - ... - a_n / a * v_n$
Quindi $v_1 , ... , v_n$ sono generatori di $v$ e formano una base.

Per il secondo punto invece:
I vettori $v_1 , ... , v_n$ formano una base di $V$ se ogni altro vettore di $V$ si può scrivere come combinazione lineare di $v_1 , ... , v_n$. Per il lemma dello scambio comunque di scelgano $n+1$ elementi di $V$ essi sono linearmente dipendenti $\Rightarrow$ si possono scrivere come combinazione lineare di $v_1 , ... , v_n$, quindi n vettori linearmente indipendenti sono una base.

[FrecciaRossa]

@alexis9 Ciao quella che per te è la dimostrazione del primo punto in verità è la dimostrazione del secondo, perché sei partita supponendo che i tuoi $n$ vettori sono linearmente indipendenti e sei arrivata a dire che sono una base. ( la dimostrazione del secondo punto da quello che hai scritto mi sembra la stessa della prima ).

Per dimostrare il primo devi far vedere che $n$ generatori di $V$, dove $dimV=n$, sono linearmente indipendenti. Questo perché una base è definita come un insieme di generatori linearmente indipendente.

[alexis9]

E' vero, ho sbagliato a dimostrare! Grazie, penso di aver capito!