Esercizio Gauss-Green (Dubbio di fondo)

[Blizz]

Ciao, riguardo a questo esercizio:

sono indeciso tra la A e la D. Il problema/dubbio di fondo che ho è: nel calcolare il prodotto vettoriale tra le derivate della funzione che mi parametrizza la superficie (che dipende da $t$ e $zita$) quale devo eseguire prima? Carico due immagini per cercare di spiegarmi meglio:



e



Alcuni pezzi ai bordi sono venuti leggermente tagliati, spero si comprenda comunque. Grazie tante per l'aiuto. Questa domanda me la pongo tutte le volte che mi capita un esercizio su G-G in $\mathbb{R^3}$ e devo assolutamente cercare di trovare una risposta...

[Quinzio]

Mi sembra corretta la d) perchè deve essere $\hat \rho = \hat \t \times \hat \zeta$ (pensa all'orientazione dei 3 assi nelle coordinate cilindriche), che è come dire $\hat x_3 = \hat x_1 \times \hat x_2$ nella base delle coordinate cartesiane.

Nel secondo foglio, quando calcoli il determinante fai: $\hat \zeta \times \hat \t = - \hat \rho $ e giustamente il risultato viene l'opposto.

Del resto che la risposta giusta sia la d) lo si capisce anche considerando ad esempio $D_1f(x)>0$.
Si ha che $\int_(\bar \Omega) D_1 f(x) dx > 0$, ed è l'integrale della risposta d) che è positivo.