Punto di accumulazione di N

[Mimmo93]

Perchè +infinito è l'unico punto di accumulazione di N?

[stormy]

perchè per ogni numero reale che non sia naturale è possibile trovare un suo intorno in cui non ci sia neanche un numero naturale
se il reale è naturale è comunque possibile trovare un suo intorno in cui non ci sia un altro numero naturale

[Mimmo93]

Non ho capito bene, potresti scriverlo in linguaggio matematico?

[maxsiviero]

Non ho capito bene, potresti scriverlo in linguaggio matematico?

Ti ricordi la definizione di punto di accumulazione?

[Mimmo93]

certo

[maxsiviero]

Bene. Quindi cosa non ti è chiaro nell'affermazione che $\infty$ è l'unico punto di accumulazione di \(\mathbb{N}\)? Secondo te ce ne possono essere altri?

[@melia]

Pensa al numero 5, usando la definizione di intorno $(5-epsilon, 5+epsilon)$ puoi trovare un intorno di 5 che non contenga numeri naturali al di fuori del 5 stesso, ad esempio basta porre $epsilon =1/2$ e ottieni l'intorno di 5 $(9/2, 11/2)$. Puoi fare questo per qualunque numero naturale. Invece, sempre dalla definizione di intorno, un intorno di $+oo$ è una semiretta crescente $(M, +oo)$, qualunque sia il numero M da cui far partire l'intorno, troverai sempre almeno un numero naturale che appartenga alla semiretta intorno di $+oo$, basterà prendere il numero $M+1$, quindi $+oo$ è di accumulazione, mentre qualunque altro naturale finito non lo è.

[Mimmo93]

Grazie @melia ho capito