equazione complessa

[andros]

Ciao!
devo trovare le soluzioni di $(z^3-1)^2=4$
pongo $w=(z^ 3-1)$ e trovo:
$z^3=3$ e $z^3=-1$

le radici che ho trovato sono :
$z_1=-1$
$z_2=-root(3)(3)$

$z_3=sqrt(3)/2+i1/2$
$z_4=-1/2+isqrt(3)/2$
$z_5 -root(3)(3)/2+i sqrt(3)/2$
$z_6= -root(3)(3)/2-i sqrt(3)/2$
ho fatto bene ?

[kobeilprofeta]

Intanto puoi controllare qua le soluzioni...

[kobeilprofeta]

Magari sbaglio, ma non ti conviene portare il 4 al primo membro e scriverlo come $(4^{1/3})^3$ e poi sviluppare la differenza di cubi?

[andros]

scusatemi!! ho sbagliato a scrivere: quello fra parentesi non è alla terza ma alla seconda

[ciampax]

In generale hai fatto bene, ma sbaglia a scrivere i risultati. Dal momento che
$$z^3=-1=\cos\pi+i\sin\pi,\qquad z^3=3=3(\cos 0+i\sin 0)$$
le soluzioni sono
$$z_k=\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3},\qquad k=0,1,2$$
$$z_h=\sqrt[3]{3}\left(\cos\frac{2h\pi}{3}+i\sin\frac{2h\pi}{3}\right),\qquad h=0,1,2$$
e quindi
$$z_0=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\ z_1=-1,\ z_2=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$$
dalla prima e
$$z_0=\sqrt[3]{3},\ z_1=\sqrt[3]{3}\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\ z_2=\sqrt[3]{3}\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$