Problema su funzione $f(x)$ continua e derivabile

[francicko]

Potreste darmi qualche ragguaglio sul seguente problema? Sia $f(x)$ continua e derivabile in $]alpha,beta[$, contenente l'intervallo $[a,b]$, tale che $f(a)=f(b)=0$, ed $f'(a)=f'(b)=1$, mostrare che esiste almeno un punto $phi$ appartenente all'intervallo $]a,b[$, tale che $f(phi)=0$; non riesco a capire perchè la scelta cada proprio sul valore $1$per le derivate in $a$, e $b$, con un qualsiasi altro valore finito non è lo stesso?
Grazie.
Saluti!

[Seneca]

Magari quella scelta è stata fatta solo per fissare le idee. Hai provato a dimostrarlo?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hint: dal fatto che $f'(a) > 0$ puoi inferire che $f$ è crescente in un intorno di $a$.

[francicko]

Mi sembra strano che quei valori siano stati dati per fissare solamente le idee, l'esercizio è tratto dal testo di analisi 1 guido Stampacchia, ho provato a fare delle prove cercando di disegnare su carta il grafico di una curva che ha i suddetti requisiti
ed effettivamente deve tagliare l'asse delle $x$ in qualche punto internamente all'intervallo, però non saprei come descriverlo analiticamente, comunque, non so se dico bene, risulterebbe vero per qualsiai valore finito di $f'(a)=f'(b)$, puoi darmi un aiuto?

[francicko]

Non ci arrivo, potresti darmi qualche altro indizio?

[Seneca]

Dal precedente hint (osservando che si può ripetere per il punto $b$) si ottiene: esiste $\epsilon > 0$ tale che $f(x) > 0$ per $ x \in (a, a + \epsilon)$ e $f(x) < 0$ per $ x \in (b - \epsilon, b )$.

[francicko]

Il ragionamento che avevo fatto io , non so se giusto, era che per una funzione siffatta deve aversi necessariamente $f(a+h)>0$, cioè $f(x)>0$ nell'intorno del punto $a$, in quanto $f(a+h)<0$ non può essere, infatti in quest'ultimo caso la curva dovrebbe intersecare la retta verticale ,parallela all'asse $y$, passante per il punto $x=a$, pertanto avrei un punto che avrebbe ascissa $x=a$ ed ordinata diversa da zero,ed un punto di ascissa $x=a$ ed $y=0$, in definitiva non sarei più in presenza di una funzione, analogamente con lo stesso ragionamento, in $b$ deve essere $f(b-h)<0$, quindi la funzione assume all'interno dell'intervallo $[a,b]$ valori positivi e negativi, ed essendo continua dovrà intersecare internamente ad esso l'asse delle $x$ in un punto $phi$, cioè sarà $f(phi)=0$.
Ripeto non so neanche se è sensato il mio ragionamento, comunque in ogni caso la scelta $f'(a)=f'(b)=1$ non può essere solo casuale a fini di fissare le idee, significherebbe che il problema è mal posto, e su questo nutro qualche dubbio.
Saluti!

[Seneca]

Temo di non seguire il tuo ragionamento. Se provassi a giustificarmelo un po' meglio...

Hai concluso qualcosa seguendo il suggerimento che ti ho dato io? E' tutto a portata di mano.

Comunque la scelta unitaria per quella valutazione di derivate continua a sembrarmi abbastanza esemplificativa. Non vedo perché dovrebbe essere un problema mal posto.

[gugo82]

Mi sembra strano che quei valori siano stati dati per fissare solamente le idee [...]

Beh, no, non è affatto strano.

Infatti l'asserto continua ad essere vero sostituendo l'ipotesi "\(f^\prime (a) =1=f^\prime (b)\)" con l'ipotesi più debole "\(f^\prime (a),f^\prime (b)>0\)".

[francicko]

Ho capito che se la funzione essendo continua assume valori sia positivi che negativi nell'intervallo $[a,b]$ deve in qualche punto $phi$ tagliare l'asse delle $x$ , cioè $fphi=0$, ma quello che non mi è ancora chiaro è il perché nell'intorno del punto $a$ debba assumere necessariamente valori positivi, e nell'intorno del punto $b$ solo valori negativi.
@Seneca. Ho letto il tuo suggerimento, ma non riesco ancora a capire;
Scusate se insisto, ma non riesco a venirne a capo, trattandosi di funzioni sono abituato alla interpretazione grafica, e faccio fatica quando questa viene a mancare, ;
Quale potrebbe essere il grafico di una funzione siffatta?
Grazie comunque per per le risposte che mi avete fornito!
Saluti!

[Seneca]

Ho capito che se la funzione essendo continua assume valori sia positivi che negativi nell'intervallo $[a,b]$ deve in qualche punto $phi$ tagliare l'asse delle $x$ , cioè $fphi=0$

Fin qui ci siamo. Andiamo passo-passo: l'ipotesi $f'(a) = 1 > 0$ implica che la funzione $f$ è crescente nel punto $a$, cioè esiste un intornino del punto $a$ in cui $f$ è crescente. Siccome $f(a) = 0$ la funzione $f$ è positiva in un intornino destro di $a$; sia $\xi$ un punto di tale intornino.
Un ragionamento analogo si può ripetere per il punto $b$, sicché la funzione $f$ è negativa in un intornino sinistro di $b$; sia $\zeta$ un punto di questo intorno.
A questo punto abbiamo un intervallo $[\xi , \zeta] \subset [a,b]$ t.c. $f(\xi) > 0$ e $f(\zeta) < 0$, ed $f$ è continua in tale intervallo. Per il teorema degli zeri esiste almeno un punto $\phi \in [a,b]$ tale che $f(\phi) = 0$.