Stime asintotiche: differenze a 0 e a infinito

[claudioz94]

Ciao a tutti. Apro questo topic perchè ho ancora qualche problema nel calcolo delle equivalenze asintotiche. Tale calcolo torna utile negli esercizi del tipo "convergenza di Integrali o serie numeriche al variare di un parametro".
La mia domanda è: qual è la differenza sostanziale tra le equivalenze asintotiche calcolate in 0 e le equivalenze asintotiche calcolate a infinito? Detto molto brutalmente dovrebbe essere "a 0 si raccolgono le potenze più basse e a infinito le più alte".. ok, ma quando capitano funzioni del tipo seno, coseno, arcotangente, logaritmo.. ?
Le stime asintotiche sono praticamente quasi le stesse? Con la differenza che a 0 possiamo usare gli sviluppi di Taylor? Chiaritemi questo dubbio per favore.
Per esempio in questo esercizio


Ho l'integrale che presenta problemi in 0 e a infinito.
So che a infinito arctan(x) è circa x (infatti si vede subito che il limite a +oo dell'argomento dell'arcotangente in questo caso fa 0). Quindi con il problema a infinito ho la convergenza per valori maggiori di -1.

Ma adesso, esaminando il problema in 0, cosa cambia nel calcolare la stima asintotica? Il denominatore resta com'è, ma il numeratore? Usando il primo termine dello sviluppo di Taylor (che si può usare solo nei problemi in 0) viene esattamente la stessa cosa. Non credo sia giusto così.

[billyballo2123]

Il fatto è che tu devi tenere in considerazione i fattori che tendono a zero (che quindi fanno convergere l'integrale) e i fattori che tendono all'infinito (che fanno quindi divergere l'integrale). Quando $t\to 0$ si ha che
$\arctan(\frac{5}{t^2}) ~ pi/2$, dunque dato che non tende né a zero né all'infinito non influisce sulla convergenza dell'integrale, e pertanto devi preoccuparti solo del denominatore. Quindi nell'intorno dell'origine l'integrale converge per $\alpha<1$.