Fisica 2 - Applicazione Legge di Gauss

[strano666]

Buonasera a tutti.

Svolgendo vari esercizi riguardo l'applicazione della legge di Gauss mi è sorto un dubbio riguardo la \( q_{int} \)

Ho una sfera conduttrice di raggio \( c \) che possiede una carica \( q \), la quale è circondata da un involucro sferico di dielettrico non omogeneo di raggio interno \( c \) ed esterno \( 3c \), con costante dielettrica \( \varepsilon_r= \frac{\alpha }{r} \) . L'esercizio mi chiede di determinare il campo elettrostatico generato in tutto lo spazio.

Con \( r< c \) risulterà \( E=0 \) , poichè il conduttore è all'equilibrio.

Con \( c<r<3c \) nel calcolo di \( q_{int} \) procedo in questo modo:
\( q_{int}=\int_{0}^{c} \rho\, dV + \int_{c}^{r} \rho\, dV \)

Con \( r>3c \), invece
\( q_{int}=\int_{0}^{c} \rho\, dV + \int_{c}^{3c} \rho\, dV + \int_{3c}^{r} \rho\, dV \)

Poi applico la legge di Gauss, per cui \( \varepsilon_{0} \oint \vec{E} \cdot \vec{u} \cdot d\Sigma = q_{int} \) e mi ricavo il campo elettrostatico nello spazio.
Facendo in questo modo mi trovo con le soluzioni.

In un altro esercizio invece ho due superfici sferiche concentriche di raggio \( R_{1} \) e \( R_{2} \) , tra cui è distribuita una carica elettrica di densità \( \rho \). \( R_{1}<R_{2} \)
In questo caso quando vado a calcolare il campo elettrostatico per \( r>R_{2} \) , sempre per mezzo della legge di Gauss, nel calcolo di \( q_{int} \) viene considerato un unico integrale \( \int_{R_{1}}^{R_{2}} \rho \, dV \) .
Io invece avevo scritto:
\( q_{int}=\int_{R_{1}}^{R_{2}} \rho \, dV \int_{R_{1}}^{r} \rho \, dV \) , memore anche del precedente esercizio quando ho calcolato la \( q_{int} \) con \( r>3c \).

Come mai in questo caso deve fermarsi ad \( R_{2} \) l'integrazione?
Per il dielettrico nel primo esercizio è dipendente da \( r \) , mentre nel secondo non vi è nessun dielettrico?

A questo punto ho paura di non aver capito bene il concetto di \( q_{int} \).

Grazie per gli eventuali aiuti!

[Quinzio]

Nel concetto di carica interna non c'è nulla di misterioso. Si deve solamente calcolare tramite integrali di volume quanta carica c'è in una certa zona dello spazio.
Nel dielettrico NON c'è carica elettrica, ci sono solo dei dipoli istantanei che si formano in presenza di un campo elettrico esterno, ma non si aggiunge nè si elimina alcuna carica.
Ora, per il primo esercizio direi che applichi un procedimento errato, e come sia che i risultati vengano esatti non saprei.

[RenzoDF]

Io per il primo esercizio andrei a calcolarmi il vettore spostamento elettrico ricordando che il suo flusso attraverso la superficie generica S di raggio r sarà pari alla carica libera interna alla stessa

$\oint_{S}^{ }\vec{D}\cdot \vec{dS}=q_{lib}$

e quindi, vettorialmente, grazie alla simmetria radiale

$\vec{D}(r)=\frac{q_{lib}}{4\pi r^2} \hat{u}_r$

per ottenere infine il campo elettrico per $c<r<3r $ dal suo legame notevole con lo spostamento

$\vec E (r)=\frac{\vec{D}(r)}{\epsilon (r)}=\frac{q_{lib}}{4\pi \epsilon _0\alpha r} \hat{u}_r$

dove, ovviamente, $q_{lib}=q$.

[RenzoDF]

... ho due superfici sferiche concentriche di raggio \( R_{1} \) e \( R_{2} \) , tra cui è distribuita una carica elettrica di densità \( \rho \). \( R_{1}<R_{2} \)
In questo caso quando vado a calcolare il campo elettrostatico per \( r>R_{2} \) , sempre per mezzo della legge di Gauss, nel calcolo di \( q_{int} \) viene considerato un unico integrale \( \int_{R_{1}}^{R_{2}} \rho \, dV \) .

Non capisco il tuo stupore, in questo caso è presente una densità di carica libera.

...Come mai in questo caso deve fermarsi ad \( R_{2} \) l'integrazione?

Semplicemente perché per $r > R_2$ non c'è più una densità di carica.

... Per il dielettrico nel primo esercizio è dipendente da \( r \) , mentre nel secondo non vi è nessun dielettrico?

Proprio così, nel primo come ti è già stato detto, non c'è carica libera distribuita ma soltanto una costante dielettrica dipendente dal raggio r, mentre nel secondo non c'è un dielettrico, ma c'è solo carica fra le due superfici ... di come poi quella carica se ne stia lì distribuita in quel volume, non sono "affari nostri" ... qualcuno l'avrà inchiodata lì in qualche modo.

[strano666]

... ho due superfici sferiche concentriche di raggio \( R_{1} \) e \( R_{2} \) , tra cui è distribuita una carica elettrica di densità \( \rho \). \( R_{1}
In questo caso quando vado a calcolare il campo elettrostatico per \( r>R_{2} \) , sempre per mezzo della legge di Gauss, nel calcolo di \( q_{int} \) viene considerato un unico integrale \( \int_{R_{1}}^{R_{2}} \rho \, dV \) .

Non capisco il tuo stupore, in questo caso è presente una densità di carica libera.

...Come mai in questo caso deve fermarsi ad \( R_{2} \) l'integrazione?

Semplicemente perché per $ r > R_2 $ non c'è più una densità di carica.

... Per il dielettrico nel primo esercizio è dipendente da \( r \) , mentre nel secondo non vi è nessun dielettrico?

Proprio così, nel primo come ti è già stato detto, non c'è carica libera distribuita ma soltanto una costante dielettrica dipendente dal raggio r, mentre nel secondo non c'è un dielettrico, ma c'è solo carica fra le due superfici ... di come poi quella carica se ne stia lì distribuita in quel volume, non sono "affari nostri" ... qualcuno l'avrà inchiodata lì in qualche modo.

Innanzitutto, grazie per le risposte a tutti!

Ok, visto che il dielettrico, all'esterno della sfera è dipendente da r, allora l'integrazione deve continuare fino ad un r generico.
La cosa che però mi crea qualche dubbio è che, è vero che \( \varepsilon_{r} \) dipende da r, però è altrettanto vero che io so che è contenuta in un guscio sferico di raggio 3c. Oltre quindi non dovrebbe/potrebbe andare!
Non è quindi lo stesso caso delle superfici sferiche del secondo esercizio, con la sola differenza che vi è un dielettrico!?

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Ho una sfera conduttrice di raggio c che possiede una carica q, la quale è circondata da un involucro sferico di dielettrico non omogeneo di raggio interno c ed esterno 3c, con costante dielettrica εr=αr . L'esercizio mi chiede di determinare il campo elettrostatico generato in tutto lo spazio.

Con r<c risulterà E=0 , poichè il conduttore è all'equilibrio.

Con c<r<3c nel calcolo di qint procedo in questo modo:
qint=∫c0ρdV+∫rcρdV

Con r>3c, invece
qint=∫c0ρdV+∫3ccρdV+∫r3cρdV

Poi applico la legge di Gauss, per cui ε0∮E⃗ ⋅u⃗ ⋅dΣ=qint e mi ricavo il campo elettrostatico nello spazio.
Facendo in questo modo mi trovo con le soluzioni.

come mai si integra in questo modo per trovare la carica interna?

[strano666]

ehm...non ho capito. A causa della definizione stessa, no?

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ciao non capisco perchè l'integrazione è estesa sino ad un r generico..

[strano666]

ciao non capisco perchè l'integrazione è estesa sino ad un r generico..

Eh...purtroppo è proprio questo il mio problema!
Visto che il dielettrico è dipendente da r, allora si estende ad un r generico....forse! Almeno mi pare di aver capito questo fino ad ora nella discussione.

Sta di fatto che se non lo estendo ad un r generico, quando r>3c, non si trova con i risultati

Però nel caso in cui non è presente il dielettrico, allora non si estende all'r generico.

Da qui il mio problema...