studio del valore assoluto

[alessandrof10]

ciao ragazzi svolgendo un integrale mi sono trovato davanti un funzione modulo del modulo vi mostro la straccia:

$\int_(-2)^(2)(|x^2-|x^2+x||)/(x^2+1)$

ma il problema che integrale lo vorrei comporre rompendo il dominio di integrazione studiando cosi la funzione modulo vi mostro come faccio

$|x^2+x|={(x^2+x, if -2<=x<=-1 vvv 0<=x<=2),(-x^2-x , if -1<x<0):}$

mente la funzione

$(|x^2-|x^2+x||)={(|x| ,if ??? ), (|2x^2+x| ,if ???):}$

non ho capito bene come trovare il dominio se qualcuno mi spiegasse i passaggi gentilmente

[Brancaleone]

Ciao alessandro

$|x^2+x|={(x^2+x, if -2<=x<=-1 vvv 0<=x<=2),(-x^2-x , if -1<x<0):}$

Hai una disequazione di secondo grado e trovi ben quattro radici? Evidentemente c'è qualcosa che non va...

[lobacevskij]

Per semplicità, consideriamo alla fine il fatto che tutto il valore assoluto va valutato nell'intervallo $[-2,2]$. Il primo sistema diventa:

$|x^2+x|={(x^2+x, if x<=-1 vvv x>=0),(-x^2-x , if -1<x<0):} $

Ora vediamo cosa succede inserendo queste informazioni nell'altro valore assoluto.
Partiamo con l'analizzarlo nel primo caso, quando cioè $x<=-1$ e $x>=0$:

$|x^2-|x^2+x||=|x^2-(x^2+x)|=|-x|=|x|={(x, if x>=0),(-x, if x<0):}$

ma, tenendo conte che $x<=-1$ e $x>=0$, si ha:

$|x^2-|x^2+x||={(x, if x>=0),(-x, if x<=-1):}$

[lobacevskij]

Nel caso $-1<x<0$ abbiamo invece che:

$|x^2-|x^2+x||=|x^2-(-x^2-x)|=|2x^2+x|={(2x^2+x, if x<=-1/2 vvv x>=0),(-2x^2-x, if -1/2<x<0):}$

ma, tenendo conto che $-1<x<0$, si ha:

$|x^2-|x^2+x||={(2x^2+x, if -1<x<=-1/2),(-2x^2-x, if -1/2<x<0):}$

[lobacevskij]

Mettendo infine insieme i vari pezzi e ricordando che stai valutando tutto nell'intervallo $[-2,2]$, avrai che:

$|x^2-|x^2+x||={(-x, if -2<=x<=-1),(2x^2+x, if -1<x<=-1/2),(-2x^2-x, if -1/2<x<0),(x, if 0<=x<=2):}$

[lobacevskij]

Ciao alessandro

$|x^2+x|={(x^2+x, if -2<=x<=-1 vvv 0<=x<=2),(-x^2-x , if -1<x<0):}$

Hai una disequazione di secondo grado e trovi ben quattro radici? Evidentemente c'è qualcosa che non va...

Ha quattro valori perchè tiene conto dell'intervallo in cui deve fare l'integrale. In effetti questo complica leggermente le cose, infatti nella mia risoluzione gli faccio notare che è più semplice aggiungere la "restrizione" dell'intervallo alla fine, cosa che rende anche meno ambigua i vari sistemi scritti.

[alessandrof10]

allora grazie delle risposte e graize loba di aver spiegato a brancaleone quello che ho fatto. tornando al problema ti sei spiegato in maniera eccellente pero ti vorrei chiedere una cosa. visto che alle superiori mi hanno insegnato il metodo di disegnare gli intervalli vorrei mantenere quel metodo percio nel tuo primo post quando analizzi il primo caso cioe
($x<=-1 vv x>=0$) ti trovi il modulo di $|x|$ che ha dominio $ x if x>0$ e $ -x if x<0$ adesso per trovarmi le due soluzioni devo mettere a sistema nel grafico sia la linea costituita da $x<=-1 vv x>=0$ e poi una alla volta sia $x>0$ che $x<0$ cosi mi trovo le prime due soluzioni giusto ??

[lobacevskij]

Si, perchè ho fatto questo passaggio (ad essere pignoli, sarebbe stato più corretto scriverlo così fin da subito o non mettere l'iniziale $|x^2-|x^2+x||$):

$|x^2-|x^2+x||=|x^2-(x^2+x)|=|-x|=|x|={(x, if x>=0 nn (x<=-1,x>=0)),(-x, if x<0 nn (x<=-1,x>=0)):}$

in cui per ogni soluzione (di $|x|$) devi fare l'intersezione (NON unione, mi raccomando) con la condizione di partenza derivante dallo svolgimento del valore assoluto più interno. Come vedi, questo ti porta a:

$|x^2-|x^2+x||={(x, if x>=0),(-x, if x<=-1):}$

Nel secondo caso si ragiona in modo analogo.

[alessandrof10]

pero non mi esce cioè

____-1______0_____
+++++++--------++++++ $-1<=x vv x>=0$
------------------++++++ $x>0$
$-$____$+$____$+$
a me esce $x>=-1$ pero a te esce $x>=0$

[alessandrof10]

come non detto scusami ho fatto unione questa è la stanchezza risolto grazie delle risposte