Ordinali transfiniti,

[Schiele.]

Oltre ai numeri naturali che descrivono quantità finite, esistono anche i numeri cardinali transfiniti, che servono per denotare enti infiniti. Per esempio, si da un numero anche a un insieme infinito, per denotarne la sua grandezza. Cosí si dice che l'insieme dei numeri naturali ha la cardinalità del numerabile, o alep-zero, l'insieme dei numeri reali ja la cardinalità del continuo o potenza del continuo. Grazie a un teorema cantoriano è possibile costruire insiemi sempre piû grandi grazie all'insieme delle parti di un insieme infinito quindi abbiamo tutta una successione di numeri chiamati ''cardinali transfiniti''. Ora, come per i numeri cardinali ordinari, esistono anche gli ordinali transfiniti. Solo che non so assolutamente cosa essi rappresentino. Ho provato a immaginare che siano analoghi agli ordinali ordinali, quindi mi sino immaginato una collezione infinita di qualsiasi cardinalitá (continua o numerabile) e vedere se indicassero qualcosa ma non riesco proprio a immaginarmi cosa possano indicare.

[Epimenide93]

Assumiamo di essere in \(\displaystyle \sf NBG \). Ti aiuta sapere che se i cardinali sono le classi di isomorfismo nella categoria \(\displaystyle \mathbf{Set} \), gli ordinali sono le classi di isomorfismo nella categoria \(\displaystyle \mathbf{WOrd} \) che ha come oggetti gli insiemi bene ordinati¹ e come morfismi le funzioni che preservano le relazioni d'ordine?

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Note

1. attenzione: gli elementi di \(\displaystyle Ob( \mathbf{WOrd} ) \) sono coppie \(\displaystyle (S, w) \) con \(S\) insieme e \(w\) buon ordinamento su \(S\). ↑

[Schiele.]

Assumiamo di essere in \(\displaystyle \sf NBG \). Ti aiuta sapere che se i cardinali sono le classi di isomorfismo nella categoria \(\displaystyle \mathbf{Set} \), gli ordinali sono le classi di isomorfismo nella categoria \(\displaystyle \mathbf{WOrd} \) che ha come oggetti gli insiemi bene ordinati¹ e come morfismi le funzioni che preservano le relazioni d'ordine?

Si, gli ordinali sono i cardinali totalmente ordinati. Cioè il primo ordinale transfinito w è l'insieme di tutti i numeri naturali ordinati. w+1 è w unione l'insieme che contiene se stesso. Ho letto in giro e ho capito più o meno come funziona la storia. Per definirli bisogna partire da una definizione insiemistica dei cardinali come 0= insieme vuoto 1= l'insieme che contiene l'insieme vuoto. In questo modo possiamo introdurre una relazione d'ordine e quindi costruire gli ordinali.

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Note

1. attenzione: gli elementi di \(\displaystyle Ob( \mathbf{WOrd} ) \) sono coppie \(\displaystyle (S, w) \) con \(S\) insieme e \(w\) buon ordinamento su \(S\). ↑

[Epimenide93]

Diciamo di sì, anche se costruzioni ce ne son tante. Il fulcro della questione sta nel fatto che se tu hai un qualsiasi insieme bene ordinato, questo è isomorfo ad uno ed un solo ordinale, ovvero gli ordinali sono gli scheletri degli insiemi bene ordinati.