semplice equazione trigonometrica cos/sen dubbio

[ack6]

Ragazzi avrei bisogno di una piccola conferma. Io credo che questa equazione:

$ cos(pi/2 costheta)/sintheta =0 $

non abbia soluzione, cioè quel rapporto non si annulla mai, è corretto ?
su alcuni appunti ho trovato che la soluzione è $ theta=0 $, ma questo non è possibile, dico bene ? questa soluzione annullerebbe il denominatore.

Ho anche un dubbio su una piccola variante:

$ cos(pi/2 costheta)/sintheta =1 $

come impostereste la soluzione ? Io avevo pensato di risolvere così:

${ (cos(pi/2 costheta)=1),(sintheta =1 ):}$

ma non ne sono certo, mi viene in mente che in effetti potrei anche impostare entrambe uguali a -1. Qual'è il modo corretto di risolverla ?

come sempre, grazie in anticipo per qualunque suggerimento.

[Vulplasir]

Nella prima hai ragione, $theta=0$ non può essere soluzione perché si annullerebbe il denominatore.

$ cos(pi/2 costheta)/sintheta =0 $

L'espressione vale zero solo se vale $0$ il suo numeratore e dunque affinché un coseno sia uguale a $0$, il suo argomento deve valere $pi/2+kpi$:

$pi/2costheta=pi/2+kpi$

$1/2costheta=1/2+k$

Dunque essendo $-1/2<=1/2costheta<=1/2$, $k$ può assumere solo i valori $k=0$ e $k=-1$:

Caso $1$:

$1/2costheta =1/2$

$costheta=1$

$theta=2mpi$

Secondo caso:

$1/2costheta=-1/2$

$costheta=-1$

$theta=pi+2mpi$

Ma entrambi questi valori non sono accettabili perché annullano il denominatore, l'equazione non ha dunque soluzione.

La secondo ho provato a risolverla ma non ne vengo a capo, non mi convince il tuo metodo però, perché come hai detto tu, potresti imporre che siano tutti e due uguali a $-1$, ma potresti imporre anche che siano tutti e due uguali a $1/2$, $1/3$...etc, il loro rapporto sarebbe sempre $1$, l'unica cosa da fare è risolvere l'equazione:

$cos(pi/2costheta)=sintheta$

Che però in questo momento non so risolvere algebricamente, forse qualcun altro più esperto di me può aiutarti.

[Vulplasir]

Anzi, si potrebbe risolvere anche la seconda equazione, aiutandosi con un grafico:

Notiamo innanzitutto che $sinx=cos(pi/2-x)$ e dunque scriviamo l'equazione come:

$cos(pi/2cosx)=cos(pi/2-x)$

Due coseni sono uguali quando i loro argomenti sono uguali o opposti:

Caso $1$:

$pi/2cosx=pi/2-x$

$picosx=pi-2x$

Come si può notare facendo un semplice grafico, $y=picosx$ interseca l'asse $y$ in $y=pi$, mentre la retta $y=pi-2x$ interseca l'asse $y$ in $y=pi$, dal grafico si nota anche che le rette non si intersecano più oltre questo punto, abbiamo dunque una soluzione in $x=0$, purtroppo questa soluzione non va bene in quanto annulla il denominatore.

Caso $2$:

$pi/2cosx=x-pi/2$

$picosx=2x-pi$

$cosx=2x/pi-1$

Purtroppo qui il grafico non ci dice dove si intersecano le due funzioni, ci dice però che si intersecano e si intersecano una e una sola volta, con un po' di tentativi si arriva a scoprire che $x=pi/2$ è soluzione:

$cos(pi/2)=1-1=0$ Accettabile.

Sostituendo all'equazione originale abbiamo:

$cos(pi/2cos(pi/2))=sin(pi/2)$

$cos(pi/2*0)=1$

$cos(0)=1$

[giammaria]

Bravo, Vulplasir, ma hai dimenticato la periodicità.
Da $cos(pi/2costheta)=cos(pi/2-theta)$
ricavi $pi/2costheta=+-(pi/2-theta)+2kpi$
Distinguiamo ora i due casi.

Col segno +
Posto $theta=x+2kpi$, l'equazione diventa
$pi/2cos x=pi/2-x$
che, come dici giustamente, ha soluzioni $x=0vvx=pi/2$. Si ha quindi $theta=2kpivvtheta=pi/2+2kpi$

Col segno -
Posto $theta=x-2kpi$, l'equazione diventa
$pi/2cos x=-pi/2+x$
La risolvi facilmente se non fai nessuna divisione ma prendi su entrambi gli assi una scala basata su multipli e sottomultipli di $pi$; la soluzione è effettivamente $x=pi/2$ e ne ricavi $theta=pi/2-2kpi$.

[Vulplasir]

@giammaria, il tuo ragionamento mi torna, non capisco però come mai wolfram alpha dia come soluzione solo $theta=pi/2$ senza alcuna periodicità:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=co ... 2Fsinx%3D1

[giammaria]

Non lo capisco neanche io e penso ad un difetto nella programmazione del software, derivante dal fatto che la soluzione delle equazioni con la mia $x$ non ha periodicità. A meno che sia sua abitudine non indicare la periodicità, ma credo che in quel caso lo sapresti.
Comunque si verifica facilmente chi ha ragione, se wolfram alpha o io; basta prendere una qualsiasi soluzione con un $k!=0$ e sostituire nell'equazione iniziale.

[ack6]

ragazzi ho continuato ad investigare sul perchè il grafico mi mostrasse zero come soluzione, se calcolo usando l'Hôpital:

$ lim_(x -> 0) cos(pi/2cosx)/sinx = (- sin(pi/2 cosx)*-pi/2 sinx )/ -cosx =0/1=0 $

quindi in 0 esiste un punto di discontinuità eliminabile. Ora la domanda è: devo quindi accettare 0 come soluzione ?
è lecito estendere la definizione della funzione nel seguente modo ?

$ f(x)={ ( f(x) if x!=0),( lim_(x -> 0) cos(pi/2cosx)/sinx if x=0):} $

[giammaria]

Ora la domanda è: devo quindi accettare 0 come soluzione ?

Dipende dalla domanda: se intendi di accettarlo come risultato di un limite, sì; se lo intendi come soluzione dell'equazione, no. Nell'ultimo caso è come se tu dicessi che l'equazione $x^2/x=0$ ha una soluzione.

è lecito estendere la definizione della funzione nel seguente modo ?
$ f_1(x)={ ( f(x) if x!=0),( lim_(x -> 0) cos(pi/2cosx)/sinx if x=0):} $

Quando si estende una definizione si considera un'altra funzione e non quella veramente data, quindi la risposta generale è no: qualsiasi calcolo va fatto sui dati forniti e non su altri modificati. La soluzione $x=0$ va bene per la funzione modificata ma non per quella iniziale.

[ack6]

a questo punto vale la pena specificare perchè cercavo questa soluzione, in pratica io dovevo minimizzare il modulo di quella quantità nel tentativo di minimizare il modulo di un campo elettromagnetico e quindi ho immaginato che fosse minimo quando quel rapporto è nullo; in questo caso forse è accettabile l'estensione delle funzione, essendo una soluzione fisica. resta il dubbio.

ho postato nella sezione di ingegneria.