dubbio teorico max e min in due variabili

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ciao a tutti,

ho un dubbio.. in base a Test per la derivata seconda[wikipedia]
Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico non degenere x:
se l'hessiana è una matrice definita positiva in x, allora f ha un minimo locale in x;
se l'hessiana è una matrice definita negativa in x, allora f ha un massimo locale in x;
se l'hessiana ha almeno due autovalori di segno opposto allora x è un punto di sella per f.

so che si dimostra con passaggi algebrici.. volevo sapere se è possibile dare una spiegazione qualitativa del fatto che, ad esempio, se l'hessiana è una matrice definita positiva in x, allora f ha un minimo locale in x.. chiedo ciò perchè credo che mi possa aiutare un bel po', dato che sono parecchio arrugginito in algebra e molti passaggi non riesco a capirli..

un grazie a chi mi darà una mano

[21zuclo]

cos'è che non capisci?..come stabilire se la matrice hessiana è definita positiva o no?..

ti faccio un esempio.. prendo questa matrice \( A=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 2 & 0 \\ 3/2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)

ti dico che la matrice è definita positiva, cioè i suoi minori di Nord-Ovest sono tutti positivi!

Quali sono i minori di Nord-Ovest?.. semplice..

\( \det\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 2 & 0 \\ 3/2 & 0 & 3 \end{pmatrix}=\frac{3}{4} >0 \)

poi \( \det\begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 2 \end{pmatrix}=\frac{7}{4}>0 \) ed infine $ a_(11)=1>0 $

invece, quest'altra matrice \( B=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 3/2 \\ 1/2 & 1 & -3 \\ 3/2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \)

è una matrice indefinita
perché la catena dei segni dei minori di Nord-Ovest NON è \( +++ \) né \( -+- \)
Esercizio: calcola i minori di Nord-Ovest e vedi che è così..

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

in alternativa, una matrice è definita positiva, se tutti i suoi autovalori sono positivi..

[dissonance]

@21zuclo: Non credo sia questa la domanda. Penso che l'OP cerchi piuttosto un metodo grafico per ricordare la corrispondenza tra il segno della matrice Hessiana e la natura (max/min) di un punto critico:

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