Numeri complessi: esercizi

[Gaiamari]

Ciao a tutti! Sto facendo degli esercizi sui numeri complessi, ho peró trovato difficoltà con i seguenti esercizi:

A) Determinare il numero complesso z in modo che $ iz^2 = -6+8i $.
B) risolvere nel campo complesso le seguenti equazioni:
• $ z^4 + z^2 = 2 $
• $ z * $ (coniugato di zeta) $ + 3iz = i^5 $



Io con l'esercizio A sono andata avanti fino a trovare $ z^2 = 8 + 6i $ , peró non so come trovare z. Devo trasformare in forma trigonometrica e fare la radice? Aiutatemi, non so come proseguire.

Sugli ultimi due esercizi invece non so proprio come sbloccarmi. Ho provato a sostituire z=a+bi , ma con ben pochi risultati (non so cosa fare dopo).


Vi sarei molto grata se mi aiutaste!

[Vulplasir]

$z^4+z^2=2$

Sostituisci $t=z^2$ e risolvi come una semplice equazione di secondo grado, una volta ottenuti i due valori $t_1$ e $t _2$ imponi:

$t1=z^2$ e $t2=z^2$ per trovare i quattro valori $z_1$,$z_2$,$z_3$,$z_4$.

In $z^2=8+6i$ non vedo altro metodo se non quello di scriverlo in forma trigonometrica:

$z^2=rho(costheta+isintheta)$

Essendo $rho=10$ e $costheta=4/5$ e $sintheta=3/5$ abbiamo che le radici sono:

$z_1=sqrt(10)*(cos(theta/2)+isin(theta/2))=sqrt(10)*(3/sqrt(10)+i/sqrt(10))=3+i$

$z_2=sqrt(10)*(cos(theta/2+pi)+isin(theta/2+pi))=sqrt(10)*(-3/sqrt(10)-i/sqrt(10))=-3-i$

[Vulplasir]

$z*bar(z)+3iz=i^5$

Ricordando la periodicità di $i$ abbiamo $i^5=i$

$z*bar(z)+3iz=i$

Sia $z=a+ib$ e ricordando che $z*bar(z)=a^2+b^2$ abbiamo:

$a^2+b^2+3i(a+ib)=i$

$a^2+b^2+3ia-3b=i$

Come si può notare, $a^2$, $b^2$ e $3b$ sono tutti numeri che hanno solo parte reale, siccome il risultato dell'equazione è un numero senza parte reale, allora la somma $a^2+b^2-3b$ deve valere $0$:

$a^2+b^2-3b=0$

Dunque siccome il risultato sopra vale $0$, allora deve valere:

$3ia=i$

$3a=1$

$a=1/3$

Sostituendo $a=1/3$ nell'equazione precedente:

$1/9+b^2-3b=0$

E risolvendo rispetto a $b$ otteniamo:

$b_1=1+3sqrt(5)/2$

$b_2=1-3sqrt(5)/2$

Le soluzioni dell'equazione sono:

$z_1=1/3+i(1+3sqrt(5)/2)$

$z_2=1/3-i(1-3sqrt(5)/2)$

[giammaria]

Per l'esercizio A) aggiungo un metodo che pochissimi conoscono per calcolare rapidamente la radice quadrata di un numero complesso: poiché $i$ è in sostanza una radice quadrata, il tutto può essere visto come un radicale doppio e sappiamo che vale la formula
$sqrt(a+-ksqrtb)=sqrt((a+c)/2)+-sqrt((a-c)/2)$ essendo $c=sqrt(a^2-(ksqrtb)^2)$
con l'avvertenza di premettere al tutto un $+-$ perché in campo complesso le radici quadrate sono due, opposte fra loro.

Avendo $sqrt(8+6i)$ calcolo quindi $c=sqrt(8^2-(6i)^2)=sqrt(64+36)=10$ e scrivo
$sqrt(8+6i)=+-(sqrt((8+10)/2)+sqrt((8-10)/2))=+-(sqrt9+sqrt(-1))=+-(3+i)$

Non è difficile dimostrare che in questo modo si ottiene sempre la somma di un reale ed un immaginario.