Dubbio stima asintotica logaritmo

[Carlo95]

Salve, durante lo svolgimento di un esercizio in cui mi veniva chiesto di determinare il carattere di una serie mi sono imbattuto nella seguente funzione logaritmica:
\(\displaystyle 1 - n\ log(1 + \frac{1}{n}) \)
di cui non riesco a trovare la stima asintotica
so che \(\displaystyle log(1 + \frac{1}{n}) \sim +\infty\ \frac{1}{n} \)
so che \(\displaystyle 1 - log(1 + \frac{1}{n})\sim +\infty\ 1 - \frac{1}{n} \)
Quindi mi verrebbe da dire che 1 \(\displaystyle - log(1 + \frac{1}{n})^n \sim +\infty\ 1 - \frac{1}{n^n} \) ma non mi sembra corretto, spero possiate aiutarmi

[21zuclo]

cioè fammi capire bene, avevi questa serie giusto? $ \sum_(n=1)^(+\infty)1-n\ln(1+1/n) $

ok saprai bene, come hai scritto che per $ n\to +\infty $ si ha \( \ln(1+t)\sim t \) se però $ t\to 0 $

come in questo caso!..

solo che fermandosi al primo ordine, non ottieni nulla..
cioè ottieni questo \( 1-n\ln(1+1/n)\sim 1-n \frac{1}{n}=1-1=0 \) per $n\to +\infty$

hai bisogno di una stima al secondo ordine!..in poche parole, sviluppa di più il logaritmo!

[ciampax]

No infatti. Il problema è che qui hai "cancellazione" di infiniti di ordine minore e il semplice confronto asintoti non basta più per trovare la stima corretta. Per fare le cose per bene devi usare gli sviluppi di Taylor: dal momento che, se $t\to 0$, si ha
$$\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$$
possiamo scrivere per $n\to\infty$
$$1-n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=1-n\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o(1/n^2)\right]=\frac{1}{2n}+o(1/n)$$
e quindi
$$1-n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim\frac{1}{2n}$$
Osserva che usando il solo confronto asintotico, avresti concluso, erroneamente, che la tua funzione è simile alla funzione identicamente nulla.

[Carlo95]

No infatti. Il problema è che qui hai "cancellazione" di infiniti di ordine minore e il semplice confronto asintoti non basta più per trovare la stima corretta. Per fare le cose per bene devi usare gli sviluppi di Taylor: dal momento che, se $t\to 0$, si ha
$$\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$$
possiamo scrivere per $n\to\infty$
$$1-n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=1-n\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o(1/n^2)\right]=\frac{1}{2n}+o(1/n)$$
e quindi
$$1-n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim\frac{1}{2n}$$
Osserva che usando il solo confronto asintotico, avresti concluso, erroneamente, che la tua funzione è simile alla funzione identicamente nulla.

No infatti. Il problema è che qui hai "cancellazione" di infiniti di ordine minore e il semplice confronto asintoti non basta più per trovare la stima corretta. Per fare le cose per bene devi usare gli sviluppi di Taylor: dal momento che, se $t\to 0$, si ha
$$\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$$
possiamo scrivere per $n\to\infty$
$$1-n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=1-n\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o(1/n^2)\right]=\frac{1}{2n}+o(1/n)$$
e quindi
$$1-n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim\frac{1}{2n}$$
Osserva che usando il solo confronto asintotico, avresti concluso, erroneamente, che la tua funzione è simile alla funzione identicamente nulla.

Avevo notato che gli infiniti si cancellavano e mi sembrava strano, avevo pensato di usare Taylor ma non ne ero certo, ora lo sono, grazie per avermi tolto dei dubbi .
Terminando l'esercizio
$ \sum_(n=0)^(+\infty)1-n\ln(1+1/n) $
\[ 1-n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim\frac{1}{2n} \]
Quindi $ \sum_(n=1)^(+\infty)1-n\ln(1+1/n) $ e \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n} \) hanno lo stesso carattere.
Poichè \(\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n} \) diverge positivamente(essendo serie armonica), concludiamo che $ \sum_(n=0)^(+\infty)1-n\ln(1+1/n) $ diverge positivamente.