Problema

[francicko]

Come si fa a mostrare che se $f(x)$ ha derivata prima in un intorno di $x_0$ ed esiste $f''(x_0)$ allora

limite per $h->0$ di $(f(x_0+h)+f(x_0+h)-2x_0)/h^2=f''(x_0)$

[ciampax]

Teorema di de l'Hopital?

[stormy]

Come si fa a mostrare che se $ f(x) $ ha derivata prima in un intorno di $ x_0 $ ed esiste $ f''(x_0) $ allora

limite per $ h->0 $ di $ (f(x_0+h)+f(x_0+h)-2x_0)/h^2=f''(x_0) $

io vedo che questo rapporto se ne va tranquillamente all'infinito se $f(x_0) ne x_0$

[francicko]

Assolutamente no, non va ad $infty$, l'identità risulta essere vera , basta fare la prova con una qualsiasi funzione polinomiale come ad esempio $x^2$, o $x^3$ ecc. il problema è tratto dal libro di Analisi 1 di Guido Stampacchia, probabilmente si può vedere che l'identità è vera anche usando taylor, ma il testo richiede l'uso dei semplici teoremi sulla derivazione di una funzione , e non riesco proprio a vedere come sia possibile.

[ciampax]

Sì, ma forse il limite è questo:
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0-h)+f(x_0+h)-2f(x_0)}{h^2}$$
Perché se è come è scritto sopra, stormy ha ragione. Invece, se è così, visto che $f$ è derivabile due volte in $x_0$ e che $f$ è derivabile, possiamo applicare de l'Hopital e scrivere
$$\lim_{h\to 0}\frac{-f'(x_0-h)+f'(x_0+h)}{2h}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)-[f'(x_0-h)-f'(x_0)]}{2h}=\\ \frac{1}{2}\lim_{h\to 0}\left[\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}+\frac{f'(x_0-h)-f'(x_0)}{-h}\right]=\frac{1}{2}\cdot\left( f''(x_0)+f''(x_0)\right)=f''(x_0)$$

[francicko]

Si scusate avete ragione ,ho digitato male, il limite è per $h->0$, $(f(x_0+h)-f(x_0-h)-2x_0)/h^2=f''(x_0)$.

[ciampax]

Anche come lo hai digitato ora non torna. Fidati che la forma corretta è quella che ti ho scritto io.

[francicko]

Ha ragione , ho controllato nel testo e corrisponde come ha scritto lei , mi spiace per il disguido, ma mi sono fidato della mia memoria!!
Non avevo pensato di applicare Hopital, ma avevo applicato taylor ottenendo limite per $h->0$ ottenendo $(f(x_0)-hf'(x_0)+(-h)^2/2f''(x_0)+ f(x_0)+hf'(x_0)+h^2/2f''(x_0)-2f(x_0))/h^2$ e da qui facendo i calcoli si ha lim per $h->0$ di $(h^2f''(x_0))/h^2=f''(x_0)$, il problema è che il testo(G. Stampacchia analisi 1) richiede la soluzione senza l'uso del teorema di Hopital o Taylor, ma solo dei teoremi di Lagrange o Cauchy, e non riesco a capire come, potrebbe darmi qualche ragguaglio?
Grazie!
Saluti!