Ciao, amici! Per verificare che la topologia indotta dalla topologia \(\ast\)-debole nella sfera unitaria \(S^{\ast}=\{f\in E^{\ast}:\|f\|\leq 1\}\) dello spazio duale di uno spazio normato separabile è metrizzabile, il mio testo procede con il verificare che i sistemi fondamentali di intorni dello 0 delle due topologie siano equivalenti, come si legge nel link, con la precauzione di notare che nella traduzione inglese c'è un errore di stampa: la condizione (2) deve leggersi, in conformità con la traduzione italiana ed il originale testo russo (p. 201 qui), every weak neighborhood of zero in \(E^{\ast}\) contains the intersection of \(S^{\ast}\) with some $Q_{\epsilon}$.
Ora, è palese che la distanza \(\rho(f,f_0)\) è invariante per traslazioni, ma come può bastare questo a garantirmi che traslando per esempio la sfera $Q_\epsilon$ per ottenere la sfera, intorno di $f_0$, $Q_\epsilon+f_0$ troverò ancora un intorno debole della forma \(U_{x_1,...,x_N;\delta}+f_0\) tale che \((U_{x_1,...,x_N;\delta}+f_0)\cap S^{\ast}\subset Q_{\varepsilon}+f_0 \) e, analogamente, che ogni intorno debole di forma \(U_{y_1,...,y_m;\delta}+f_0\) contenga un intorno di $f_0$ in \(S^{\ast}\) di forma \((Q_{\varepsilon}+f_0)\cap S^{\ast}\)?
Ho verificato con opportune quasi immediate modifiche che il teorema vale anche sostituendo $f-f_0$ a $f$, ma non riesco comunque a capire perché il testo dica che è sufficiente verificare le due condizioni (1) e (2)...
$\infty$ grazie a tutti!!!