moti periodici

[Spremiagrumi]

Trovo due integrali primi del moto dividendo una lagrangiana con una parte funzione della sola $x$ e un'altra funzione della sola $theta$.

Consideriamone uno:

$E_1=m/2(1+x^2)dot(x) +(2k+mg)/2x^2$

Mi dice nelle soluzioni che se $E_1=0$ il moto della coordinata x è stazionario: $x(t)=0$; se $E_1>0$ il moto di $x$ è periodico di periodo:

$T_1(E_1)=2int_(x_(-)(E_1))^(x_(+)(E_1)) dxsqrt( m(1+x^2)/(2E_1-(2k+mg)x^2) $

dove

$x_+=x_(-)=sqrt(2E_1/(2k+mg)$

Ho capito come si ottengono ma non capisco perché, non ho trovato la teoria per niente esauriente su questa parte.
Perché questo moto è periodico? Che cosa è $x_+$ e $x_-$?
Grazie dell'aiuto, spero rispondiate

Ps Non credo che per risolvere o capire il problema ci sia bisogno di scrivere come ho ottenuto la lagrangiana e in cosa consiste il sistema in questione, ma nel caso qualcuno ritenga dovesse servire lo faccia presente e provvederò.

[Spremiagrumi]

Ok, ho risolto. Però ho ancora un dubbio.

Se chiamiamo V il potenziale $V=(2k+mg)/2*x^2$ allora se $E>0$, il moto non potrà che svolgersi tra i punti compresi tra le radici di $E=V$. Ma rimane un dubbio: non è possibile (naturalmente, a parte che sarebbe nullo l'integrale ma a prescindere da quello anche logicamente) che $x_(-)=x_(+)$, uno sarà $+$ e l'altro $-$, basta risolvere l'equazione di secondo grado no?
Appunto nell'altro integrale (quello $E_2$ che non ho scritto) lo svolge in questo modo.
C'è qualche errore nel ragionamento? Vorrei togliermi ogni dubbio, grazie.