Sfida tosta

[Maldenbrot]

Quesito di un professore, che sostiene di non aver trovato mai nessuno che sa risolvere questo problema...

Trovare la classe limite della successione \( \displaystyle n*sin(n) \)


Ovviamente sappiamo che gli infiniti ci appartengono, la sfida è trovare se contiene anche qualcos'altro!!

Buon divertimento!!

[j18eos]

Mi è venuta un'idea che risolve il problema in \(\displaystyle4\) battute, ma devo controllare che sia corretta...

...e comunque, se la memoria non m'inganna: il problema già fu proposto!

EDIT Idea semplicemente errata!

[Rigel]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il problema si riduce a dimostrare che la classe limite della successione \((\sin n)_n\) è l'intervallo chiuso \([-1,1]\).

[Maldenbrot]

Non capisco il motivo Rigel...

Il fatto che io abbia una sottosuccessione che va arbitrariamente vicino a zero non mi dice che riesca a "tirarsi dietro" il fatto che n va a infinito! potrei avere per esempio che qualunque sottosuccessione tendente a zero prenda termini dell'ordine di \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt(n)} \) e a quel punto salta tutto, o sbaglio? mi sfugge l'implicazione

[Rigel]

Sì scusa, hai ragione.
Temo sia necessario lavorare un po' con le approssimazioni diofantine (ad esempio, non dovrebbe essere difficile dimostrare che \(0\) sta nella classe limite):
approssimazione diofantina
misura di irrazionalità

Così su due piedi non sono in grado di dire quanto sia difficile individuare tutta la classe limite (so che esistono casi in cui questa non è nota).

[Maldenbrot]

Grazie mille! una miniera che non conoscevo. Se trovi altre idee fammi sapere grazie

[Martino]

Un mio amico mi ha suggerito un'idea, cosa succede se usiamo come sottosuccessione la parte intera di \( \displaystyle 2k \pi \) ? O di \( \displaystyle 10^k \pi \) ?

[AngeloPat]

scusate la mia ignoranza: cos'è una classe?

[Rigel]

@AngeloPat: la classe limite è l'insieme di tutti i limiti sottosuccessionali di una data successione.

@Maldenbrot: come sospettavo si tratta di un problema aperto. Puoi sempre chiedere al tuo professore di mostrarti la sua soluzione

[Martino]

Rigel perché dici che si tratta di un problema aperto? Potresti dare una fonte?