Studio Comportamento Serie Fratta - Problemi il Numeratore

[mrlol198]

Ciao a tutti,
Oggi mentre facevo gli esercizi sono incappato in questo esercizio:
"Studiare il comportamento della seguente serie (se converge, diverge)"
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-\sqrt{n^4+2n}}{\sin(\frac{3n-1}{n^2-1})} \)

Per prima cosa ho verificato la condizione necessaria ma non sufficiente di convergenza ed in effetti, potrebbe convergere, in quanto
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} a_n = 0\)

E qui blocco totale, ho provato col criterio del confronto, ma non so come trattare il numeratore
\(\displaystyle n^2-\sqrt{n^4+2n}\)
Ho provato a razionalizzare, ma poi mi blocco di nuovo con la radice a denominatore
Invece per il denominatore avevo pensato a
\(\displaystyle \sin(\frac{3n-1}{n^2-1}) \sim \frac{3n-1}{n^2-1}\)

Se mi dareste una mano vi sarei veramente grato.
Cordiali saluti.
mrlol198

[ciampax]

Punto 1: la serie è definita per $n\ge 2$, perché per $n=1$ il termine generale non ha senso.
Punto 2: prima di lanciarsi nell'uso di criteri vari, bisogna verificare di che tipo di serie si tratti (a segni costanti, a segni alterni, a segni variabili). Il numeratore è sempre negativo. Per quanto riguarda il denominatore, si può osservare che la funzione $f(x)=\frac{3x-1}{x^2-1}$ risulta decrescente per ogni $x\ge 2$ e positiva per $x\ge 2$, quindi, essendo $f(2)=5/3$ il valore del seno a denominatore è sempre positivo e minore del valore del seno di $5/3$. Pertanto la funzione è a termini negativi e può riscriversi come
$$-\sum_{n=2}^\infty\frac{\sqrt{n^4+2n}}{\sin\left(\frac{3n-1}{n^2-1}\right)}$$
Punto 3: adesso possiamo usare il criterio del confronto. Osserviamo che
$$\sin\left(\frac{3n-1}{n^2-1}\right)\sim\sin\left(\frac{3n}{n^2}\right)\sim\frac{3}{n}$$
mentre per il numeratore, usando il fatto che
$$(1+t)^\alpha-1\sim \alpha t,\qquad t\to 0$$
possiamo scrivere
$$\sqrt{n^4+2n}-n^2=n^2\sqrt{1+\frac{2}{n^3}}-n^2=n^2\left(\sqrt{1+\frac{2}{n^3}}-1\right)\sim n^2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{n^3}=\frac{1}{n}$$
In definitiva il termine generale è asintotico a ${1/n}/{3/n}=1/3$, per cui la serie si comporta come la serie costante $-\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{3}$ che diverge negativamente.

[mrlol198]

Spett.le ciampax,
si mi sono accorto dell'errore di trascrizione del testo, chiedo venia, adesso leggo tutto per bene, intanto, ti ringrazio per la comprensione sei stato utilissimo

Ti volevo chiedere, se fosse possibile se il metodo sarebbe stato simile se avessi avuto al denominatore
\(\displaystyle \sin\left(\frac{3n-1}{n^2+1}\right) \).

Grazie e scusa ancora

[ciampax]

Sì, di nuovo dovevi prima di tutto guardare se il denominatore fosse sempre positivo o negativo, ma per il resto è uguale.
E spett.le de che? Che siamo, in azienda?????

[mrlol198]

A posto ti ringrazio mi hai risolto molti dubbi