Calcolare \( \int_{\gamma} \overrightarrow{F}\, d\overrightarrow{r} \)

[leomagicabula]

ciao a tutti ho alcuni dubbi su questo esercizio:

Si calcoli \( \int_{\gamma} \overrightarrow{F}\, d\overrightarrow{r} \) , con \(\gamma = \gamma_1 \cup \gamma_2 \) dove \(\gamma_1 \) è la circonferenza \( \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2=1, z=1\} \) percorsa in senso antiorario se vista dall'alto e \(\gamma_2\) è la circonferenza \( \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2=4, z=2\} \) percorsa in senso orario se vista dall'alto. Dove \(\overrightarrow{F} : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times (0, \infty ) \rightarrow \mathbb{R}^3 \) , \(\overrightarrow{F} (x,y,z)= log (x) \overrightarrow{i} +(arctan (y) +\frac{1}{4}x^4 ) \overrightarrow{j} +\frac{x}{z} \overrightarrow{k} \).

si chiedeva anche di calcolare il rot \(\overrightarrow{F} \) che a me viene \(( 0,0, x^3 ) \)

la mia domanda è questa: devo applicare il teorema di Stokes? e come parametrizzo \( \gamma \) dato che è percorsa il due sensi diversi)

grazie in anticipo per il vostro tempo!!

[ciampax]

Puoi osservare che l'integrale si scrive come
$$\int_{\gamma_1}-\int_{\gamma_2}$$
e poi applicare Stokes ai due.

[leomagicabula]

ciao ciampax!
scusa ma \( \gamma \) non è mica uguale a \( \gamma_1 \cup \gamma_2 \) ?? perchè devo fare la differenza degli integrali?

[ciampax]

Ma perché non leggete la teoria prima di mettervi a fare esercizi? Se cambi l'orientamento su una curva, devi metterci un meno davanti!

[leomagicabula]

guarda hai ragione ad incazzarti, ma a mia discolpa me ne sono accorto 5 secondi dopo aver postato la mia risposta!

[ciampax]

Bien!