Esercizio piano inclinato

[niccoset]

Durante un esame è stato proposto questo esercizio:

Un blocco viene lanciato dal basso con velocità $ v_0 $ lungo un piano inclinato dell'angolo $ alpha=pi/12 $ e raggiunge la sommità del piano con velocità nulla in un tempo $ t_1 $. Tra il blocco e il piano c'è attrito con coefficiente dinamico $ mu_d $. Il blocco poi inverte il suo moto e ridiscende lungo il piano in un tempo $ t_2 $. Si trovi il valore del coefficiente d'attrito tale che $ t_1=t_2/2 $. (suggerimento: si usi la relazione che lega lo spazio percorso lungo il piano al tempo impiegato a percorrerlo.)

Per la soluzione dell'esercizio ho proceduto in questo modo:
Ho orientato l'asse x in direzione di $ v_0 $ (cioè parallelo al piano inclinato e con verso che va nella salita) e l'asse y perpendicolare al piano inclinato.
Dunque $ a_1=-g(mu_dcosalpha+sinalpha) $ ; lo spazio percorso(cioè la lunghezza del piano inclinato) è $ x=-v_0^2/(2a_1) $ e quindi essendo un moto uniformemente decelerato si ha $ t_1=-v_0/a_1 $.
Per il tratto in discesa $ a_2=g(sinalpha-mu_dcosalpha) $ ; essendo anche qui un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla ma con posizione iniziale uguale alla lunghezza del piano iniziale $ t_2=v_0/(sqrt(a_1a_2)) $.
Imponendo ora $ t_1=t_2/2 $ e sostituendo le varie accelerazioni ottengo $ mu_d=0,45 $

E' corretto come risultati e ragionamento? Ci sono metodi migliori o più rapidi ?
Inoltre, considerando un moto uniformemente accelerato e la relazione $ v^2=v_0^2+2a(x-x_0) $ se so ad esempio che la velocità finale va in direzione opposta al mio asse di riferimento come devo cambiare i segni ?

Grazie.

[navigatore]

Se nella salita hai orientato l'asse $x$ verso l'alto, hai :
$v = v_0 -a_1t$
$x = v_0t -1/2a_1t^2$

All'istante $t_1$ in cui il corpo si ferma, si ha : $ 0 = v_0 - a_1t_1 $ , da cui : $ t_1 = v_0/a_1$ : non puoi avere un tempo negativo!! La lunghezza percorsa va presa anch'essa con segno $+$ , visto l'orientamento dell'asse $x$ . E sarà :
$L = 1/2v_0^2/a_1$

In discesa , orienta l'asse $x$ verso il basso. Va bene $a_2$ , e si ha : $ v = a_2t$ , e lo spazio : $ x = 1/2a_2t^2$ .

Per cui sarà : $ L = 1/2 a_2 t_2^2$ , e quindi imponendo l'uguaglianza di $L$ risulta corretto il valore di $t_2$ che hai trovato. Poi imponi la condizione sui tempi data dal testo. Non ho controllato ma dovrebbe andare bene.

[niccoset]

Grazie mille!!!