Salve a tutti
Devo studiare la convergenza di questo integrale
\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} \end{align}
Noto che devo studiare in particolare cosa succede nell'intorno di \(\displaystyle x = 1, 2, +\infty; \)
Allora suddivido l'integrale in 5 (ahimè) parti:
\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} =
\int_{0}^{1-} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{1+}^{\frac{3}{2}} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{\frac{3}{2}}^{-2} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{2+}^{3} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} +
\int_{3}^{\infty} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} \end{align}
Se tutti e 5 gli integrali convergono, anche l'integrale di partenza convergerà. Comincio quindi a cercare di capire se il primo integrale converge o diverge, ma subito mi blocco. Infatti vedo che
\begin{align} \lim_{x \to 1} \frac{log(|x-2|)}{x^2-1} = -\frac{1}{2} \end{align}
e quindi non posso utilizzare i vari criteri del confronto asintotico, poiché la funzione di partenza non è né infinitesima né infinita in \(\displaystyle x = 1 \).
A questo punto ho provato sia integrando per parti, sia cercando qualche improbabile sostituzione, ma mi sembra di finire sempre in un vicolo ceco.
Qual è la falla nel mio ragionamento?
Grazie mille per le eventuali risposte!