[Controlli Automatici] Margine di stabilità sul diagramma di Bode

[moska85]

Salve amici, sto cercando di risolvere esercizi in cui bisogna calcolare analiticamente il margine di fase e ampiezza ma non ci riesco. Non so proprio da dove incominciare. Ho studiato l'argomento e in teoria ho capito cosa rappresentano queste due grandezze rispetto al diagramma di Bode, però analiticamente non so come si calcolano. Mi dareste una mano a capire perfavore.?
Per esempio ho trovato questo esercizio già svolto e se fosse possibile lo vorrei fare insieme a voi: ho la seguente f.d.t.

\( G(s)=1/(1+s)^3 \)

ho calcolato il diagramma di bode e fin qui ci sono.

In attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente.

[D4lF4zZI0]

Se hai studiato la teoria, com'è definito il margine di fase?

[moska85]

Si prende la pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma dei moduli attraversa la fase a 0db, poi si va sul diagramma della fase e in corrispondenza di quella pulsazione si va a vedere la distanza che c'e fino ad arrivare a -180°

[D4lF4zZI0]

Si prende la pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma dei moduli attraversa la fase a 0db
Ehhh? Forse volevi dire la pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma del modulo passa per $0 db$

Allora, i diagrammi di Bode della tua fdt sono i seguenti

Quanto vale quella quella pulsazione ( che prende il nome di pulsazione di attraversamento o pulsazione di taglio )?

[moska85]

Si scusami volevo dire "il diagramma dei moduli"
La pulsazione di taglio dovrebbe essere 1rad/sec giusto?

[D4lF4zZI0]

No sbagliato: per $omega=1(rad)/s$ il diagramma dei moduli vale circa $-10 dB$.
Ma scusa, se osservi il diagramma di Bode del modulo, noti subito che il modulo della fdt va a zero quando $ omegararr 0 $.
Ora, osservando il diagramma delle fasi, quando $ omegararr 0 $ la fase tende a $0°$; conseguentemente, il margine di fase vale $180°$.
A te determinare il margine di guadagno

[moska85]

Sono stato da un prof a farmi spiegare come bisogna procedere nello svolgimento di esercizi di questo genere, ed ho capito che la mia difficoltà sono i numeri complessi...
Ora cerco di rimediare a questa lacuna e appena sono pronto ti ricontatto e ti faccio vedere che saprò risolvere il problema , almeno spero

[moska85]

Allora D4lF4zZI0 , mi inizio a calcolare il margine di fase, quindi mi trovo graficamente la pulsazione critica wc cioè quella in corrispondenza dell'intersezione a 0 db sul diagramma dei moduli. Analiticamente dovrò avere modulo unitario (perché non cambia) e la fase deve trovarsi al di sopra di 180°

Quindi sostituisco s con jw e analiticamente devo risolvere questa equazione per trovare wc:

\( 1/|1 + jw|)^3 = 1 \)

razionalizzo...

\( 1 = |1 - jw|^3 \)

mi calcolo il modulo del membro a destra e ottengo la pulsazione critica wc = 0
A questo punto mi calcolo la fase di G(jwc) e trovo fase critica pari a 0 pertanto il margine di fase è 180° ed è molto stabile .
Corretto fin qui??

[D4lF4zZI0]

Corretto

[moska85]

Grande finalmente ho capito come procedere...
Una domanda: ma se il margine d'ampiezza risulta essere infinito, cosa significa in termini di stabilità? che è sempre as. stabile??

la difficoltà che sto incontrando adesso riguarda i numeri complessi la razionalizzazione ste cose qua.....
Per esempio adesso sto facendo un'altro esercizio in cui calcolo margine di fase e ampiezza, mi sto calcolando il margine di fase della seguente f.d.t.

\( L(s)= 10/(s + 10)(s^2 + 0.4s +1) \)

quindi imposto la seguente equazione:

\( 10/(jwc + 10)(wc^2 + 0.4jwc +1) = 1 \)

a questo punto devo razionalizzare e quindi moltiplicare ambo i membri per il coniugato del denominatore.
Nel mio caso il coniugato del denominatore è \( (jwc - 10)(wc^2 - 0.4jwc -1) \) ??