sferetta dentro un tubicino rotante

[zorrok]

Salve,
mi sto incartanto su un problemino semplice.
Si abbia un tubicino (o guida) liscia di lunghezza L, incernerieta ad un suo estremo, con all'interno una particella di massa m (per fissare le idee) possiamo posizionarla ad L/2. All'inizio tutto è fermo, posizionato su un tavolo orizzontale liscio, poi si instaura subitaneamente un moto rotatorio con velocità angolare costante $\omega$.
Qual'è l'equazione del moto di m, nel sistema di rifrimento fisso, dapprima considerando il tubicino privo di momento di inerzia e poi invece con momento di inerzia I ?
1) Se non vi è momento di inerzia m è soggetta sono alla forza centrifuga e dovrebbe essere $ma(t) =m \omega^2r(t)$
come si fa a calcolare r(t)?
2) Se vi è momento di inerzia dovremo invocare il principio di conservazione della q.d.m. che non essendoci momenti si conserva L(in) = L(fi) qual'è L (in) e L(fi) ?

[hamilton]

Che cosa vuol dire che c'è o non c'è momento di inerzia? Cosa pensi che sia il momento di inerzia?.

[zorrok]

Ho semplicemente posto un problema tratto dal Rosati.
il Problema chiede
1) scivere l'equazione del moto della massa m supponendo che il tubicino sia privo di momento di inerzia
2) calcolare la velocità di m quando abbandona il tubicino, supponendo che il tubicino abbia un momento di inerzia (io ho posto il quesito analogo di trovare l'equazione del moto anche in questo secondo caso)

[hamilton]

ok, perdonami. Come mai dici che è presente una forza centrifuga? E come mai dici che è l'unica presente?

Nel secondo caso, non è giusto dire che si conserva il momento lineare (quantità di moto), perché quello si conserva quando non ci sono forze.

Quello che si conserva quando non ci sono momenti è il momento angolare.

[zorrok]

In effetti sono presenti due forze la reazione del vincolo (perpendicolare ad m perchè è liscio) e la forza centipeta
N + F = ma nel sistema di rif fisso, nel secondo caso volevo intendere il momento della q.d.m.
Ora come fare a ricavare l'eq. del moto?

[hamilton]

senza momento d'inerzia, una forza centripeta agisce sul tubicino, ma non sulla pallina.

Sempre senza momento d'inerzia, considera lo scambio di forze fra la pallina e la guida, ma tratta separatamente la componente radiale e quella ortogonale. In questo modo dovrebbe essere facile rendersi conto che la pallina è completamente disaccoppiata dalla guida, e che si muove in maniera del tutto indipendente.

Il caso con il momento d'inerzia è un po' più difficile, ma con la stessa decomposizione dovrebbe essere chiaro come si risolva.

P.S.: se questo problema esce fuori da un corso di meccanica razionale / fismat / meccanica analitica o simili, il modo migliore e più veloce è di scriverlo come un sistema lagrangiano. Se non è così, ignora questa frase.

[Faussone]

Nel caso di tubicino senza momento di inerzia, come ha detto Hamilton la pallina si muoverebbe come se il tubicino non ci fosse e conserverebbe sempre il suo momento angolare iniziale rispetto all'estremo dove il tubicino è incernierato.
Scrivere l'equazione del moto non dovrebbe essere difficile quindi.

Nel caso di tubicino con inerzia, scrivere l'equazione del moto è complicato (infatti il problema originale mi pare non lo chiedesse), ma non è difficile ricavare la velocità della pallina quando lascia la guida.

Basta osservare nuovamente che il momento angolare del sistema rispetto all'estremo dove è incernierato il tubicino si conserva, inoltre, non agendo forze che compiono lavoro, anche l'energia cinetica del sistema si conserva.
Dalla prima equazione si ricava la componente di velocità perpendicolare alla direzione del tubo nell'istante in cui la pallina lascia il tubo e dalla seconda la componente radiale.

[zorrok]

Quindi se ho ben capito dovrebbesi avere la seguente situazione:

[Faussone]

Ho l'impressione che tu non abbia capito/considerato cosa ti è stato detto...

Innanzitutto fammi riassumere come io ho capito il problema: hai questo tubicino incernierato ad un estremo lo metti in rotazione ad un certo istante ad una data velocità angolare e poi lo lasci libero, nessuna coppia né forza esterna, a parte la reazione della cerniera, agisce quindi.

Se le cose stanno così devono conservarsi il momento angolare rispetto alla cerniera e l'energia cinetica.
Questo, nel caso di momento di inerzia del tubo nullo, porta a concludere che la sferetta si muoverà come se il tubicino non ci fosse, cioè se all'istante iniziale la sua velocità è pari a $omega R/2$ allora la sua velocità rimarrà sempre quella, anche in direzione e verso ovviamente, mentre il tubicino si muoverà di conseguenza, sulla sferetta non agisce nessuna forza centripeta inoltre.

Nel caso di tubicino con momento di inerzia maggiore di zero, valgono sempre le stesse equazioni di conservazione, come ho scritto prima.

[zorrok]

come fa ad avere sempre la stessa velocità vettore? il tubicino ruota!