Anello quoziente ideale non principale

[DoMinO]

Ciao a tutti! E' possibile avere un esempio su come svolgere questo esercizio:

Verificare che \(\displaystyle I = (X^2+3_4X+1_4, 2_4) \) è un ideale massimale di \(\displaystyle \mathbb{Z}_4[X] \)

Arrivo intuitivamente che \(\displaystyle \mathbb{Z}_4[X]/(2_4) \cong \mathbb{Z}_2\) e in seguito bisogna verificare se il polinomio è irriducibile in \(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \)

ma non so arrivarci in modo matematico. Mi è stato detto che bisogna usare il Secondo teorema di isomorfismo, ma non ho idea come applicarlo.. qualcuno sa come fare?
Grazie mille!

[vict85]

Se il quoziente di un anello è un campo allora l'ideale è massimale. Non hai bisogno di analizzare il polinomio. Cosa dice il teorema?

[DoMinO]

Ma come verifico che quel quoziente è un campo?

[vict85]

Se quello è effettivamente isomorfo a \(\mathbf{Z}_2\) allora è un campo. Insomma quando \(\mathbf{Z}_n\) è un campo?

[DoMinO]

Si so la teoria, il mio problema è capire come arrivare per esercizio che il quoziente è un campo

[j18eos]

...Arrivo intuitivamente che \( \displaystyle \mathbb{Z}_4[X]/(2_4) \cong \mathbb{Z}_2 \) e in seguito bisogna verificare se il polinomio è irriducibile in \( \displaystyle \mathbb{Z}_2 \)...

E sbagli intuizione!

Perché? Hai la risposta sotto il naso!

[vict85]

@j18eos : Si, hai ragione. Avevo letto velocemente e non avevo notato.

@DoMinO : Per vederlo prova a pensare se \(X\in (2_4)\). Comunque la frase se \(\mathfrak{m}\) è un ideale massimale di \(A\) allora \(A/\mathfrak{m}\) è un campo vale per ogni anello commutativo \(A\) (se togli la commutatività è evidente che \(A/\mathfrak{m}\) potrebbe non essere commutativo ma certamente continua a non possedere ideali propri).

[DoMinO]

Scusate, intendevo \(\displaystyle \mathbb{Z}_2[X] \)

Ma il problema rimane ugualmente. Se l'ideale è generato da un solo elemento allora so dimostrare se è massimale o no. Ma se è generato da due elementi, come si fa a dimostrare che è massimale, in modo rigoroso?

[vict85]

Devi usare i teoremi degli isomorfismi per sfruttare le tue conoscenze sugli ideali principali. Insomma enuncia i teoremi che ti aiutiamo da lì.

Di fatto dovrai scomporre il morfismo in più morfismi che sai trattare meglio.

[DoMinO]

Grazie per la disponibilità vict85. Forse ho capito, dimmi se è giusto agire in questo modo:

Intanto enuncio il II teorema di omomorfismo:

Sia \(\displaystyle G \) un gruppo, \(\displaystyle H, K \unlhd* G \) con \(\displaystyle H \subseteq K \). Allora:
\(\displaystyle G/K \cong \frac{G/H}{K/H} \)


Ovviamente questo è l'enunciato per i gruppi, ma è analogo per gli anelli.

Dunque, nell'esempio in questione si può agire in questo modo:

\(\displaystyle \frac{\mathbb{Z}_4[X]}{(X^2+3_4X+1_4, 2_4)} \cong \frac{\mathbb{Z}_4[X]}{\frac{(2_4)}{\frac{(X^2+3_4X+1_4, 2_4)}{(2_4)}}} \cong \frac{\mathbb{Z}_2[X]}{(X^2+3_4X+1_4)} \)

A questo punto, poiché \(\displaystyle \mathbb{Z}_2[X] \) è principale essendo \(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \) campo, si ha che \(\displaystyle (X^2+3_4X+1_4) \) è massimale se e solo se il suo generatore è irriducibile. Poiché esso è irriducibile, si ha che \(\displaystyle (X^2+3_4X+1_4) \) è massimale.
Dal teorema che afferma che I è massimale se e solo se A/I è campo, si ha che \(\displaystyle \frac{\mathbb{Z}_2[X]}{(X^2+3_4X+1_4)} \) è campo, ed essendo isomorfo al nostro anello di partenza, si ha che \(\displaystyle (X^2+3_4X+1_4, 2_4) \) è massimale in \(\displaystyle \mathbb{Z}_4[X] \)

Right?