da ciampax » 15/09/2014, 11:53
Poll89, l'idea è giusta, ma quello che fai è parametrizzare la circonferenza e non il cerchio. Ciò che bisogna fare è questo: poiché $x,y$ variano nel cerchio che può essere parametrizzato da coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ con $\rho\in[0,1],\ \theta\in[0,2\pi]$, una rappresentazione parametrica della superficie è la seguente
$$\vec{r}(u,v)=(u\cos v, u\sin v,\sqrt{1-u^2\cos^2 v}),\qquad u\in[0,1],\ v\in[0,2\pi]$$
Dal momento che, data una superficie $\Sigma$ con parametrizzazione $\vec{r}:D\rightarrow\mathbb{R}^3$ l'area di tale superficie è data dall'integrale
$$A=\iint_D\|\vec{r}_u\wedge\vec{r}_v\|\ du\ dv=\iint_D\sqrt{EG-F^2}\ du\ dv$$
($\wedge$ è il prosotto vettoriale e $\|\ \|$ la norma di un vettore) dove per definizione
$$E=\vec{r}_u\bullet\vec{r}_u,\qquad F=\vec{r}_u\bullet\vec{r}_v,\qquad G=\vec{r}_v\bullet\vec{r}_v$$
(il punto è il prodotto scalare) abbiamo
$$\vec{r}_u=\left(\cos v,\sin v,-\frac{u\cos^2 v}{\sqrt{1-u^2\cos^2 v}}\right),\qquad \vec{r}_v=\left(-u\sin v, u\cos v,\frac{u^2\cos v\sin v}{\sqrt{1-u^2\cos^2 v}}\right)$$
da cui
$$E=\cos^2 v+\sin^2 v+\frac{u^2\cos^4 v}{1-u^2\cos^2 v}=1+\frac{u^2\cos^4 v}{1-u^2\cos^2 v}=\frac{1-u^2\cos^2 v+u^2\cos^4 v}{1-u^2\cos^2 v}=\\ \frac{1-u^2\cos^2 v(1-\cos^2 v)}{1-u^2\cos^2 v}=\frac{1-u^2\cos^2 v\sin^2 v}{1-u^2\cos^2 v}$$
e
$$F=-u\sin v\cos v+u\sin v\cos v-\frac{u^3\cos^3 v\sin v}{1-u^2\cos^2 v}=-\frac{u^3\cos^3 v\sin v}{1-u^2\cos^2 v}$$
e infine
$$G=u^2\sin^2 v+u^2\cos^2 v+\frac{u^4\cos^2 v\sin^2 v}{1-u^2\cos^2 v}=u^2+\frac{u^4\cos^2 v\sin^2 v}{1-u^2\cos^2 v}=\\ \frac{u^2[1-u^2\cos^2 v+u^2\cos^2 v\sin^2 v]}{1-u^2\cos^2 v}=\frac{u^2[1-u^2\cos^2 v(1-\sin^2 v)]}{1-u^2\cos^2 v}=\frac{u^2(1-u^2\cos^4 v)}{1-u^2\cos^2 v}$$
Pertanto
$$EG-F^2=\frac{u^2-u^4\cos^4 v-u^4\cos^2v\sin^2 v+u^6\cos^6 v\sin^2 v-u^6\cos^6 v\sin^2 v}{(1-u^2\cos^2 v)^2}=\\ \frac{u^2[1-u^2\cos^2 v(\cos^2 v+\sin^2 v)]}{(1-u^2\cos^2 v)^2}=\frac{u^2[1-u^2\cos^2 v]}{(1-u^2\cos^2 v)^2}=\frac{u^2}{1-u^2\cos^2 v}$$
Per questioni di simmetria, dal momento che la circonferenza di base ha simmetria circolare, l'area che ci serve è pari a quattro volte l'area della sola parte che copre il primo quarto di cerchio, cioè per $v\in[0,\pi/2]$: in definitiva, è sufficiente calcolare il seguente integrale
$$4\int_0^{\pi/2}\int_0^{1}\frac{u}{\sqrt{1-u^2\cos^2 v}}\ du\ dv=4\int_0^{\pi/2}\left[-\frac{\sqrt{1-u^2\cos^2 v}}{\cos^2 v}\right]_0^1\ du\ dv=\\ 4\int_0^{\pi/2}\left[\frac{-\sqrt{1-\cos^2 v}+1}{\cos^2 v}\right]\ dv=4\int_0^{\pi/2}\frac{1-\sin v}{\cos^2 v}\ dv$$
poiché sul dominio di integrazione $\sqrt{1-\cos^2 v}=\sin v\ge 0$. Quest'ultimo integrale è un integrale improprio: pertanto possiamo calcolarlo al modo seguente
$$\lim_{a\to\pi/2^-}4\int_0^a\left(\frac{1}{\cos^2 v}-\frac{\sin v}{\cos^2 v}\right)\ dv=\lim_{a\to\pi/2^-} 4\left[\tan v+\frac{1}{\cos v}\right]_0^a=\\ \lim_{a\to\pi/2^-}4\left(\tan a+\frac{1}{\cos a}-1\right)=\lim_{a\to\pi/2^-} 4\frac{\sin a-\cos a+1}{\cos a}=$$
applicando de l'Hopital (solo per fare prima)
$$=\lim_{a\to\pi/2^-} 4\frac{\cos a+\sin a}{\sin a}=4$$
Docente: Allora, mi dica, se ha una matrice quadrata di ordine [tex]$n$[/tex] qual è il numero massimo di autovalori di questa contati con la loro molteplicità?
Studente: (dopo alcuni istanti di silenzio profondo) [tex]$n\sqrt{2}$[/tex]!!!