da ciampax » 15/09/2014, 10:59
Allora, torniamo un attimo al primo problema: con quello che ho scritto, possiamo affermare che il determinante è negativo (e non che è nullo.... ma leggi quello che ti viene scritto?) in qualsiasi punto, pertanto che tipo di punto si ha?
Per il secondo, l'enunciato dovrebbe suonare così: Consideriamo l'insieme $A=(\alpha,\beta)\times RR^n$, la funzione $f:A\rightarrow RR^n$ e, detto $\vec{x}(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))\in RR^n$, il sistema di equazioni differenziali $\vec{x}'(t)=f(t,\vec{x}(t))$. Se per ogni sottointervallo $J\subset (\alpha,\beta)$ a chiusura compatta, esiste una costante $c_j>0$ tale che
$$|f(t,\vec{x})|< c_j(1+|\vec{x}|),\qquad \forall\ \vec{x}\in\mathbb{R}^n,\ t\in J$$
e se $\vec{y}:(\alpha,\beta)\rightarrow RR^n$ è una soluzione massimale (cioè $\vec{y}'(t)=f(t,\vec{y}(t))$ per ogni $t\in J$), allora possiamo concludere che $\vec{y}(t)$ è globale.
(questo teorema è l'equivalente vettoriale del teorema di esistenza globale per il problema di Cauchy).
Quindi devi fare due cose: 1) far vedere che esiste una soluzione massimale del problema, ogni volta che prendi un sottointervallo di $[0,+\infty)$; 2) far vedere che la nostra $f$, che in questo caso è
$$f(t,\vec{x})=(y-\varphi(x),x-\varphi(y))$$
soddisfa la condizione scritta. (In realtà basta dimostrare che vale 2) e il gioco è fatto).
Docente: Allora, mi dica, se ha una matrice quadrata di ordine [tex]$n$[/tex] qual è il numero massimo di autovalori di questa contati con la loro molteplicità?
Studente: (dopo alcuni istanti di silenzio profondo) [tex]$n\sqrt{2}$[/tex]!!!
