ragazzi, mi aiutate a capire la convergenza uniforme della seguente successione di funzioni? Ho problemi con il max ass?

[thedoctor15]

Ve la riporto $ fn(x)= (1-e^(x/2))/(sen^2x+ n^2 $

con $ x sub (-oo,0] $

Allora converge puntualmente, infatti il limite puntuale fa zero. Ma nella convergenza uniforme non riesco ad annullare la derivata prima per trovare il massimo:

$ (-1/2e^(x/2)(sen^2x+n^2)-(1-e^(x/2))2senxcosx)/(sen^2x+n^2)^2 $

oppure devo solo sostituire x=0 per ottenere il massimo? Vi prego ho un esame domani pomeriggio

[thedoctor15]

per caso non si annulla mai questa derivata e mi sto facendo problemi inutili?

[ciampax]

Come ti rendi conto, calcolare la derivata per determinare il massimo di tale funzione è controproducente. Tuttavia, le informazioni sul dominio possono esserti d'aiuto: osserva per prima cosa che $0\le\sin^2 x\le 1$(a causa della definizione della funzione seno) e che quindi $n^2\le\sin^2 x+n^2\le 1+n^2$. Ne segue allora, passando al reciproco, che
$$\frac{1}{n^2}\le\frac{1}{\sin^2 x+n^2}\le\frac{1}{n^2}$$
Inoltre, dal momento che $x\le 0$ si ha pure $0<e^{x/2}\le 1$ da cui $0\le 1-e^{x/2}< 1$. Allora si ha
$$0\le f_n(x) <\frac{1}{n^2}$$
per ogni $x\in(-\infty,0]$, da cui segue che il max della funzione è sicuramente inferiore a $1/n^2$, per ogni $n$. Ma se allora indichi con $M_n$ tale max, si ha per forza di cose $$0\le M_n< 1/{n^2}$$ da cui, per $n\to +\infty$, $M_n\to 0$.