Risultato sullo sviluppo in serie di Fourier

[iDesmond]

Buongiorno a tutti!
Sono in procinto di ultimare la mia tesina triennale in matematica ma ho qualche problema con una dimostrazione dove entra in gioco la teoria delle funzioni di Fourier che ancora non ho studiato all'università.

In particolare, leggendo su un articolo ho trovato questo risultato:

Se $f \in C^{k}(\RR)$ e se
\[ f(t)= \sum_{n=1}^{+\infty}\sin n \alpha \pi(a_n \cos nt + b_n \sin nt )\]
è il suo sviluppo in serie di Fourier abbiamo che
\[ a_n \sin n\alpha\pi = O(n^{-k}), \hspace{1cm} b_n \sin n\alpha\pi = O(n^{- k}).\]

Dato che l'articolo è vecchio e i riferimenti cui fa capo sono ancora più vecchi mi ci vuole troppo tempo per capire notazioni e tutto l'ambaradan richiesto a priori. Intuitivamente credo di aver capito perché, ma sapresti darmi un riferimento (anche dispense di un vostro professore) per trovare la dimostrazione di questo fatto? (e magari anche per capire le ipotesi che soggiaciono a tale teorema in maniera più precisa).

Come sempre vi ringrazio!

[dissonance]

E' tutta questione di integrazione per parti. Scrivi l'espressione di un coefficiente di Fourier di $f$:
\[
c_n=\int_{0}^{2\pi} f(t) e^{-in t}\, dt.
\]
Se $f$ è di classe $C^1$ puoi integrare per parti, notando che i termini di bordo si annullano:
\[
c_n=\int_{0}^{2\pi} f'(t)\frac{e^{-int}}{-in}\, dt. \]
Da questa formula segue che
\[
|c_n|\le \frac{C}{n}, \]
dove \(C=\int_0^{2\pi} |f'(t)|\, dt.\) Se \(f\) è di classe \(C^2\) la cosa si può iterare, e così via. Questa è l'idea, ora sta a te adattarla al tuo caso che ha una forma leggermente diversa, ma la sostanza è la stessa.

[iDesmond]

Ti ringrazio, ma mi basta questo per dire che $c_n$ è un "o grande" di $1/n$?

[dissonance]

Rivedi la definizione di O grande prima di continuare.

PS: Ah forse ho capito. Sei preoccupato dal fatto che $C$ dipenda da $f$ immagino. Fammici pensare un attimo.

P.PS: In effetti quella è una cosa che non puoi evitare. Più è grande l'integrale \(\int_0^{2\pi} \lvert f'(t)\rvert\, dt\), più è grande la costante nell'O grande $c_n=O(n^{-1})$: questo ha senso perché una funzione con una derivata più grande oscilla di più, e quindi ha bisogno di avere frequenze più alte nella sua serie di Fourier.

[dissonance]

Ho modificato il messaggio precedente.

[iDesmond]

Provo a buttare giù la mia dimostrazione e ti faccio sapere.
Grazie!

[iDesmond]

Ok, ho scritto, ditemi se può andare o se non ci sono errori grossolani:

_____________________
Osserviamo preliminariamente che, se $f$ è una funzione di classe $C^k$ periodica di periodo $2\pi$, allora i coefficienti $c_n$ del suo sviluppo in serie di Fourier sono tali che $c_n = O (n^{-k})$; infatti, dalla teoria delle funzioni di Fourier, si ha che:
\[ c_n = \int_0^{2 \pi} f(t) e^{-int} dt = \tfrac{e^{-int}}{-in} f(t)|_0^{2\pi} - \int_0^{2 \pi} f'(t) \tfrac{e^{-int}}{-in} dt = - \int_0^{2 \pi} f'(t) \tfrac{e^{-int}}{-in} dt ,
\]
dove abbiamo integrato per parti e sfruttato la periodicità di $f$. In valore assoluto abbiamo quindi ottenuto:
\[ |c_n| \leq \tfrac{C}{n} , \hspace{1cm} C= |\int_0^{2 \pi} f'(t) dt| .
\]
In questo caso abbiamo sfruttato il fatto che $f \in C^1$, se dunque $k \geq 2$ questo procedimento si può iterare fino alla derivata $k-esima$\footnote{La periodicità si mantiene dopo l'operazione di derivata.}, ottenendo
\[ c_n = (-1)^k \tfrac{1}{n^{k-1}} \int_0^{2 \pi} f^{(k)}(t) \tfrac{e^{-int}}{-in} dt
\]
e quindi
\[ |c_n| \leq \tfrac{C}{n^k} , \hspace{1cm} C= |\int_0^{2 \pi} f^{(k)}(t) dt| .
\]
Dunque se $f \in C^{3+[\Omega]}(\RR)$ e se
\[ f(t)= \sum_{n=1}^{+\infty}\sin n \alpha \pi(a_n \cos nt + b_n \sin nt )
\]
è il suo sviluppo in serie di Fourier, abbiamo che
\[ a_n \sin n\alpha\pi = O(n^{-3 - [\Omega]}), \hspace{1cm} b_n \sin n\alpha\pi = O(n^{-3 - [\Omega]}).
\]
_____________________

Due cose:
1) come si fa in Latex il simbolo per l'integrazione per parti quando si dice la funzione calcolata fra a e b (dove qui ho messo semplicemente $|_0^2$ )
2) riguardo $C$ ho messo il valore assoluto fuori dall'operatore integrale mentre tu lo hai messo all'interno, nella funzione integranda, è corretto lo stesso?

[dissonance]

2) riguardo $C$ ho messo il valore assoluto fuori dall'operatore integrale mentre tu lo hai messo all'interno, nella funzione integranda, è corretto lo stesso?

No. Cosa succede se $\int_0^{2\pi} f'=0$ ma $f'\ne 0$?

[iDesmond]

2) riguardo $C$ ho messo il valore assoluto fuori dall'operatore integrale mentre tu lo hai messo all'interno, nella funzione integranda, è corretto lo stesso?

No. Cosa succede se $\int_0^{2\pi} f'=0$ ma $f'\ne 0$?

Infatti è la stessa cosa che ho pensato io, però quando si maggiora con il valore assoluto, si parte maggiorando dall'esterno no? Cioè..

$c_n = - \int_0^{2 \pi} f'(t) \frac{e^{-i n t}}{-i n} dt \leq | \int_0^{2 \pi} f'(t) \frac{e^{-i n t}}{-i n} dt | \leq | \frac{1}{n} \int_0^{2 \pi} f'(t) dt |$
e il passo che hai fatto te è successivo no? Non basta questo risultato per ottenere una maggiorazione valida?

[dissonance]

Quello che scrivi sarebbe vero se fosse \(e^{-int}=1\). Invece è vero soltanto che \(\lvert e^{-int}\rvert =1\).