Sviluppi di Taylor in più variabili

[Emar]

Buongiorno a tutti,

Mi è venuto un dubbio sul metodo di calcolo degli sviluppi di Taylor in più variabili. Data \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) lo sviluppo di Taylor nel punto \(\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n\) è:
\[f(\mathbf{x}) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \mathrm{d}^k f_{\mathbf{x}_0}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) = f(\mathbf{x}_0) + \mathrm{d}f_{\mathbf{x}_0}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \frac{1}{2}\mathrm{d}^2f_{\mathbf{x}_0}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \dots\]
Ovvero:
\[f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0) \ (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \frac{1}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^T \mathrm{H}f(\mathbf{x}_0) \ (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + \dots\]

Ora, se data una \(f(x,y)\), mi viene chiesto di calcolare lo sviluppo ad un ordine elevato, diciamo 4, nel punto \(\mathbf{x}_0\), come mi devo comportare? Percorrere la via del calcolo esplicito tramite le derivate mi sembra improponibile. Forse si può fare con gli sviluppi annidati?

Qualche hint?

Grazie mille

[dissonance]

Secondo me non c'è molto altro da fare se non mettersi davanti al PC e lasciare che sia lui a fare tutti i contazzi. Io personalmente preferisco lasciar perdere quella formula e semplicemente valutare $f$ lungo un segmento per poi sviluppare la funzione di una sola variabile che ne risulta; ma anche così un po' di conti c'è da farli.

[Emar]

Ti ringrazio della risposta. Però, in pratica, non capisco come poter risolvere un quesito di questo tipo:

Calcolare lo sviluppo di Taylor al quarto ordine in $(0,0)$ della funzione:
\[f(x,y) = \cos{(e^x + y^2 -1)}\]
ricordando che \(\cos{x} = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^5)\)

Che fare?

[ciampax]

Poni $t=e^x+y^2-1$: osserva che quando $(x,y)=(0,0)$ allora $t=0$. pertanto dallo sviluppo di McLaurin suggerito si ha
$$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}+o(t^4)$$
Adesso, puoi sviluppare $t$: dal momento che $e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/{24}+o(x^4)$ si ha
$$t=e^x+y^2-1=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)+y^2-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)+y^2$$
(non è necessario sviluppare la potenza di $y$ che, in un certo senso, è già sviluppata). Ora devi sostituire e calcolare le varie potenze: tuttavia puoi osservare che il massimo grado concesso per il polinomio che stai cercando è 4, per cui puoi "eliminare" a priori i termini non necessari (cioè quelli che, facendo le potenze di $t$ porterebbero a monomi in $x$ e $y$ con somma delle potenze maggiore di 4). Pertanto
$$\begin{align*}
\cos(e^x+y^2-1)=&1-\frac{1}{2}\left(x^2+\frac{x^4}{4}+y^4+2\cdot x\cdot\frac{x^2}{2}+2\cdot x\cdot\frac{x^3}{6}+2\cdot x\cdot y^2+2\cdot\frac{x^2}{2}\cdot y^2\right)\\
&+\frac{1}{24}\left(x^4\right)+o(t^4)\\ =&1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2}-xy^2-\frac{x^4}{4}-\frac{x^2 y^2}{2}-\frac{y^4}{2}+o(...)
\end{align*}$$

[Emar]

Grazie mille per l'aiuto. E' come sospettavo quindi, questo ragionamento lo facevo in una variabile ma non ero sicuro si potesse estendere a più variabili. Guardo meglio stasera quando ho tempo, grazie per la disponibilità.