\[\begin{cases} y'(t) = f(t,y) = \tanh{y} - \frac{1}{t^2} \\ y(1) = a\end{cases}\]
- Per quali valori di $a$ il problema ha una e una sola soluzione?
- Per quali valori di $a$ l’intervallo massimale si esistenza è $(0,\infty)$?
- Esistono valori di $a$ per i quali la soluzione del problema ha asintoti orizzontali? Verticali? Obliqui?
- Tracciare un grafico qualitativo della soluzione per qualche valore di $a$.
Quel che farei io:
- Da quello che so questo avviene quando la funzione $f$ è Lipschitz continua uniformemente rispetto a $t$. Grazie agli dei dell'Olimpo la funzione è \(C^1\) nel suo dominio (che è $RR^2 \setminus \{t = 0\}$) e quindi è anche Lipschitz continua. Io risponderei \( \forall a \not = 0\)
- Non saprei, forse \(a > 0\)?
- Qui buio totale
- Troverei gli equilibri, e poi non saprei altro.
Se qualcuno ha voglia di aiutarmi è il benvenuto
