Convergenza serie telescopica

[marco12]

Salve,
Ho trovato questa serie

$sum_(n=2)^oo ln(1-1/n^2)$

Ora, so che è una serie telescopica e che converge (rispetta la condizione iniziale e poi si verifica facilmente che si comporta asintoticamente come $1/n^2$). Il punto è come imposto la formula per calcolare? Io ho pensato che devo fare qualche "magheggio" con la successione $ln(1-1/n^2)$, ma francamente non so da dove cominciare...

[stormy]

$ln(1-1/n^2)=ln((n^2-1)/n^2)=ln(n+1)+ln(n-1)-2lnn$
se non ho sviluppato male i calcoli,$s_n=ln(n+1)-lnn-ln2=ln((n+1)/n)-ln2$

[marco12]

Potresti spiegare gentilmente l'ultimo passaggio? e poi dovrei ottenere un risultato numerico

[stormy]

se calcoli $s_n=a_2+a_3+...+a_n$ puoi verificare,dando ad $n$ qualche valore,che vale la formula che ho scritto
poi,lo so che devi ottenere un risultato numerico,ma lascio a te il calcolo del difficilissimo limite di $s_n$

[marco12]

Si si ci ho pensato subito dopo