Integrale triplo: problemi dominio

[comes94]

Buonasera, mi è capitato come esercizio di calcolare questo integrale triplo:

$ int int int sqrt(x^2+y^2) dx dy dz $

Di cui il dominio di integrazione è:

$ D={(x,y,z) in RR^3 : (2-sqrt(x^2+y^2))^2+z^2<=1} $

Ora, il problema è che non riesco ad immaginarmi questo dominio. Ho provato ad effettuare un cambio di coordinate cilindriche, ma invano perchè mi confonde ancora di più e anche andando avanti non mi torna il risultato, che dovrebbe venire $ 17/2pi^2 $.

[stormy]

siccome la disequazione si può scrivere nella forma $z^2 leq 1-(2-sqrt(x^2+y^2))^2$,bisogna cominciare a vedere per quali
$(x,y)$ è verificata la disequazione $1-(2-sqrt(x^2+y^2))^2 geq 0$
poi passi alle coordinate cilindriche

[comes94]

Ok, dalla disequazione viene che $ x^2+y^2<=1 $ per cui le uniche x e y accettabili sono contenute nel cerchio di raggio 1 e centro nell'origine. Ma quindi alla fine il solido è un cilindro? Poi, se passo alle coordinate cilindriche non riesco più capire come varia z. In teoria, dovrebbe essere $ -sqrt(1-(2-r)^2)<=z<=sqrt(1-(2-r)^2) $ (r deriva dal cambio in cilindriche) quindi un cilindro simmetrico al piano xy chiuso dalla funzione z(x,y). Mettendo tutti gli estremi di integrazione,viene un integrale praticamente impossibile da calcolare, il che significa che qualcosa non va nel mio ragionamento....

[ciampax]

Non capisco da dove sorgano i problemi. Passiamo direttamente a coordinate cilindriche: allora la condizione che determina il dominio è
$$(2-\rho)^2+z^2\le 1$$
L'assenza di $\theta$ (e la forma originale dell'equazione) portano a concludere che $\theta\in[0,2\pi]$. La curva $(2-\rho)^2+z^2=1$, disegnata nel piano cartesiano $\rho O z$ rappresenta una circonferenza di centro il punto $(2,0)$ e raggio $1$ (per cui il solido, in realtà,è una porzione di "palla"). Poiché $\rho\ge 0$ per definizione, dal disegno (il cerchio va disegnato solo nel I e IV quadrante) possiamo dedurre che
$$0\le\rho\le 1,\qquad -\sqrt{1-(2-\rho)^2}\le z\le\sqrt{1-(2-\rho)^2}$$
per cui si ha l'integrale
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-sqrt{1-(2-\rho)^2}}^{sqrt{1-(2-\rho)^2} \rho^2\ dz\ d\rho\ d\theta$$
che non mi pare questa gran cosa.

[ciampax]

Per quale motivo a me ignoto non mi fa modificare il messaggio: dicevo, l'integrale è questo:
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-\sqrt{1-(2-\rho)^2}}^{\sqrt{1-(2-\rho)^2}} \rho^2\ dz\ d\rho\ d\theta$$

[comes94]

L'integrale infatti è fattibile, solo che non viene lo stesso. Per svolgerlo, ho fatto due sostituzioni:

1. $ rho = 2-t $
2. $ t = sin(a) $

Riesco ad arrivare ad una primitiva, ma comunque non torna e poi mi sembra strano che nella seconda sostituzione venga come estremo di integrazione $ arcsin(2) $. Non c'è un modo più semplice per svolgerlo?

[ciampax]

Scusa, errore mio: $\rho\in[1,3]$...

[comes94]

Giusto, ora viene. Solo che faccio fatica a capire il tipo di solido. Se dopo il cambio di coordinate teta scompare, perchè diamo per assunto che vari tra 0 e $ 2pi $? E che fine ha fatto l'asse teta (prima avevamo 3 assi, dovrebbero essere rimasti 3 anche dopo il cambio di coordinate). Ora come ora, me lo sto immaginando più come un toro avente per asse di rotazione l'asse z. Comunque grazie per la risposta, era da due giorni che stavo inchiodato su questo esercizio....