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Con $"m"_N(E)$ intendo la misura di Lebesgue di una parte $E\subseteq RR^N$ misurabile; dalla teoria è noto che:
a) $\quad "m"_N (E)=\int_E " d"x_1\ldots " d"x_N$
cosicché la misura di $E$ si può calcolare mediante l'integrale $N$-uplo della funzione identicamente $=1$ in $E$.
Da ciò e dal teorema del cambiamento delle variabili segue che, per ogni $r >= 0$, la misura dell'insieme $r*E:=\{ rx, x\in E\}$ (corrispondente ad $E$ in un'omotetia di rapporto $r$) si può calcolare come segue:
b) $\quad "m"_N (r*E)="m"_N(E)*r^N$.
Infine, il teorema di Fubini implica che è sempre possibile scrivere:
$\int_E " d"x_1\ldots " d"x_N=\int_("proj"_N(E)) \{ \int_(E_(x_N)) " d"x_1\ldots " d"x_(n-1)\}" d"x_N$
ove $"proj"_N (E)$ è la proiezione di $E$ sullo $N$-asse coordinato (ossia $"proj"_N(E):=\{ xi \in RR: exists (x_1,\ldots ,x_(N-1)) \in RR^(N-1): (x_1,\ldots ,x_(N-1),xi)\in E\}$) ed $E_(x_N)$ è la sezione di $E$ determinata dall'iperpiano passante per $(0,\ldots, 0,x_N)$ ortogonale allo $N$-esimo asse coordinato; pertanto si ha:
c) $\quad "m"_N (E)=\int_("proj"_N(E)) "m"_(N-1) (E_(x_N))" d"x_N$.
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Problema:
Sia $N\in NN$ e scegliamo di denotare con $Delta^N$ lo $N$-simplesso, ossia la parte di $RR^N$ definita come segue:
$\quad Delta^N:=\{ (x_1,\ldots ,x_N)\in RR^N: x_1,\ldots x_n >=0 " e " \sum_(i=1)^N x_i<= 1\}$;
evidentemente, per $N=1$ si ha $Delta^1=[0,1]$, mentre per $N=2,3$, $Delta^N$ è, rispettivamente, il triangolo isocele rettangolo con cateti di lunghezza unitaria giacenti sui semiassi positivi e la piramide triangolare retta avente per vertici i punti $o=(0,0,0),"e"_1=(1,0,0),"e"_2=(0,1,0), "e"_3=(0,0,1)$.
Ricordando note formule di Geometria Elementare, si calcolano facilmente i valori di $"m"_N(Delta^N)$ per $N=1,2,3$ e ci si riesce a fare anche un'idea della formula generale per la misura dello $N$-simplesso.
Determinare, al variare di $N$, il valore di $"m"_N(Delta^N)$ e confermare o confutare l'intuizione indotta dal calcolo dei primi tre valori di $"m"_N(Delta^N)$.
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Suggerimenti: Si applichino le a) - c).
(Più precisamente, una volta scritta $"m"_N(Delta^N)$ sotto forma di integrale in base ad a), applicare la formula di riduzione c); si tenga presente b) per calcolare le misure delle sezioni di $Delta^N$; infine ricordare le ben note proprietà del fattoriale.)
(Più precisamente, una volta scritta $"m"_N(Delta^N)$ sotto forma di integrale in base ad a), applicare la formula di riduzione c); si tenga presente b) per calcolare le misure delle sezioni di $Delta^N$; infine ricordare le ben note proprietà del fattoriale.)
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