Missione da Base Lunare

Anno 2035: il nostro satellite è stato ormai colonizzato dell'uomo come base mineraria per rifornire la Terra. Alla ricerca di nuove risorse si decide di partire dalla Luna per monitorare a distanza ravvicinata i pianeti contigui alla Terra. Sfruttando la bassa gravità e l'assenza di atmosfera si decide di lanciare la prima missione con un razzo unmanned(senza equipaggio).

La base di partenza sarà situata nel Mare Serenitatis, una vastissima area sul lato visibile della Luna, sede di atterraggi delle missioni spaziali statunitensi nel secolo XX.

Per questo progetto si dimensiona un razzo(dotato della strumentazione adeguata allo scopo) alimentato da combustibile liquido. E' un sistema costituito da idrogeno e ossigeno, che pompati nella camera di reazione producono vapore acqueo gassoso: H₂+1/2*O₂ = H₂0. La reazione è istantanea e fortemente esotermica. Produce un forte innalzamento della temperatura e della pressione nella camera di reazione. Il gas di reazione (H₂0) viene espulso dell'ugello generando la spinta necessaria al moto del razzo.

Si assuma come riferimento il piano tangente la superficie della luna all'istante del lancio (nota: il piano non è solidale con la Luna, ma resta fisso nello spazio). ll razzo viene lanciato dal piano perpendicolarmente alla superficie. Le forze in gioco sul razzo sono la spinta generata dai gas di scarico e l'attrazione gravitazionale della Luna (in questo problema si considerano trascurabili le forze gravitazionali esercitate da Terra, pianeti, Sole).

Si tratta di un problema di moto monodimensionale (lungo l'asse delle quote z).

Domanda 1. Si assuma che la spinta generata dai gas sia esprimibile (in forma semplificata) da:

e che inoltre sia

(1)

[la formula è tratta da: Albino Carbagnani - www.vialattea.net ]

dove: S = spinta , vg = velocità gas, C = consumo istantaneo di combustibile, Tgas: temperatura del gas, PM = peso molecolare gas.

Si scrivano le equazioni del moto del razzo, tenendo presente che la massa del razzo è variabile a causa del consumo di combustibile.

Traccia da seguire. Scrivere il sistema di due equazioni differenziali che rappresentano il moto del razzo, la prima lega la quota (z) alla velocità (v), la seconda esprime il 2° principio della dinamica).

Si assuma che C sia mantenuto costante dall'accensione motori fino a completo esaurimento del combustibile.

Domanda 2. Si assuma Tgas = 3500 °K, mr = 2000 kg ( massa del razzo a secco), mc = 40000 kg (massa combustibile), C = 20 kg/s.

Calcolare la velocità dei gas e la spinta. Procurarsi i dati del satellite necessari al calcolo (diametro medio, massa).

Risolvere il sistema di equazioni differenziali determinando z(t), v(t). Tracciare anche i profili di a(t) ed m(t) (a = accelerazione razzo, m =massa razzo)

Traccia. Il sistema di equazioni non è risolvibile alle quadrature, tuttavia è possibile metterlo nella forma dz/dt = f( z ,v, t) dv/dt = g( z ,v, t) che si presta all'integrazione numerica. Basta ora procurarsi una routine di integrazione numerica dei sistemi di equazioni differenziali nella forma suddetta. per esempio il metodo di Eulero oppure Runge-Kutta. Scrivere un semplice software per la soluzione numerica del problema. Ad esempio mediante i moduli di Visual Basic contenuto in EXCEL.

Domanda 3. Verificare che il razzo non ricada sulla Luna, per questo procurarsi, o meglio ricavare, la semplice equazione che esprime la velocità di fuga, da applicare in un punto qualunque della traiettoria dopo il consumo completo del combustibile, vale a dire in assenza di spinta.

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SOLUZIONE
Soluzione del problema Missione dalla base lunare