Classi di grandezze omogenee e proporzionali

Le classi di grandezze omogenee sono insiemi di grandezze che possono essere confrontati, sommati e divisi.

Sono classi di grandezze omogenee, per esempio, gli insiemi delle lunghezze, delle ampiezze degli angoli, delle aree e dei volumi.

Un insieme in cui figurano grandezze diverse non sempre rappresenta una classe di grandezza omogenea; infatti, se consideriamo un insieme in cui compaiono, per esempio, sia lunghezze sia aree, questo non è una classe di grandezza omogenea, in quanto non ha senso confrontare la lunghezza di un segmento con l’area di un poligono.

 

Misura e rapporto di grandezze omogenee

Una volta stabilita una unità di misura, possiamo associare a qualsiasi classe di grandezza omogenea un numero reale positivo o nullo che è detto misura della grandezza rispetto all’unità fissata.

Il rapporto tra due grandezze omogenee A e B si definisce come la misura di A rispetto a B assunta come unità, e si indica con A : B, oppure A/B.

Questo rapporto dipende esclusivamente dalle due grandezze, e non dall’unità di misure scelta.

Il rapporto tra due grandezze è uguale al rapporto tra le loro misure rispetto ad una stessa unità.

Due grandezze omogenee si dicono commensurabili se hanno un sottomultiplo comune. Abbiamo che:

  • due grandezze sono commensurabili se e solo se una è multiplo razionale dell’altra;
  • due grandezze sono commensurabili se e solo se hanno un multiplo comune;
  • due grandezze sono commensurabili se e solo se il loro rapporto è un numero razionale.

 

Proporzioni tra grandezze

Una proporzione tra grandezze è un’uguaglianza di rapporti tra grandezze.

Ad esempio, se A e A’ sono due grandezze tra loro omogenee, e B e B’ altre due grandezze tra loro omogenee, l’uguaglianza

\[A : A’ = B : B’\]

è una proporzione tra grandezze.

A differenza di una proporzione tra numeri, in questo caso la proprietà fondamentale secondo cui il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, non ha senso; infatti, solitamente, in matematica non si considera il prodotto di grandezze.

Inoltre, la proprietà del permutare, che permette di scambiare tra loro i termini medi o i termini estremi, si può applicare nel caso delle grandezze omogenee solo se le grandezze che compaiono al primo membro siano omogenee con quelle che compaiono al secondo.

Teorema: Se a e a’ sono le misure, rispetto ad una stessa unità, delle grandezze A e A’ tra loro omogenee, e b e b’ sono le misure, rispetto ad una stessa unità, delle grandezze B e B’ tra loro omogenee, la proporzione tra grandezze A : A’ = B : B’ è valida se e solo se vale la proporzione tra le loro misure, cioè:

\[A:A’=B:B’\Leftrightarrow a:a’=b:b’\]

Due classi di grandezze omogenee sono direttamente proporzionali se:

  • tra di esse è stabilita una corrispondenza biunivoca;
  • il rapporto tra due grandezze qualsiasi di una classe è uguale al rapporto delle grandezze corrispondenti dell’altra.

 

Costante di proporzionalità

Date due classi di grandezze proporzionali, e prefissata per ciascuna classe un’unità di misura, il rapporto tra la misura di un elemento della prima classe e la misura del corrispondente elemento della seconda, è costante, e si chiama costante di proporzionalità.

 

Classi di grandezze continue

Una classe di grandezza omogenea ci dice continua se, prefissata un’unità di misura, comunque si scelga un numero reale \(a\ge 0\) esiste una grandezza la cui misura è a.

Alcuni esempi di classi di grandezze continue sono le ampiezze degli angoli, le aree, i volumi.

 

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